天津市河北区2022届高三数学下学期二模试题(Word版附解析)
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河北区2021—2022学年度高三年级总复习质量检测(二)数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时12分钟,第I卷1至3页,第II卷4至8页.第I卷(选择题共45分)注意事项:1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案棒号.答在试卷上的无效3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:▪如果事件A,B互斥,那么▪球的表面积公式▪如果事件A,B相互独立,那么我的体积公式其中R表示球的半径一、选择题;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据补集、并集的定义计算可得;【详解】解:因为,,所以,又,所以;\n故选:D2.若a,b都是实数,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得;【详解】解:,都是实数,那么“”“”,反之不成立,例如:,,满足,但是无意义,“”是“”的必要不充分条件.故选:B.3.已知,且,则m的值为()A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化指数式为对数式,把用含有的代数式表示,代入,然后利用对数的运算性质求解的值.【详解】由,得,,由,得,即,,∵.故选:B.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化,考查了对数的运算性质,属于基础题.\n4.函数的图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性,以及由排除不正确的选项,从而得出答案..【详解】详解:为奇函数,排除A,,故排除D.,当时,,所以在单调递增,所以排除C;故选:B.5.为了解中学生的身高情况,某部门随机抽取了某学校的学生,将他们的身高数据(单位:cm)按[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,其中身高在区间[170,180)内的人数为300,身高在区间[160,170)内的人数为180,则a的值为()\nA.0.03B.0.3C.0.035D.0.35【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图中的数据,以及频率与频数之间的关系,列式求解即可.【详解】由频率分布直方图可得:,解得a=0.03.故选:A6.已知双曲线C:的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3:1,则双曲线C的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形,直接得到,计算渐近线的斜率.【详解】如图,可知焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3:1,即,,所以双曲线的渐近线方程为.\n故选:A.7.已知是定义在R上的偶函数,且在区间单递调减,若,,,则a,b,c的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由偶函数的定义和对数的运算性质、对数函数的单调性和已知函数的单调性,可得,,的大小关系.【详解】解:由函数是定义在上的偶函数,可得,则,,,因为函数在区间上单调递减,且,,即,所以,即有,故选:D.8.给定函数,,,,用表示,中的最小者,记为,关于函数有如下四个命题:①函数的最小正周期为π;②函数的图象关于直线对称;③函数的值域为;④函数在上单调递增,\n其中真命题的是()A.②④B.①②C.①③D.③④【答案】A【解析】【分析】可将的解析式化简为,,通过作出函数的图象,结合图象逐个判断即可.【详解】解:因为,,则,,如图所示:由图可知:的最小正周期为,故①为假命题;的图像关于直线对称,故②为真命题;的值域为,故③为假命题;\n在区间上单调递增,故④为真命题,真命题为②④,故选:A.9.设函数.若时,方程有唯一解,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出f(x+1)的图象,根据方程f(x+1)=k有唯一解,结合图象即可求解k的取值范围.【详解】因为函数,所以,若时,作出的图象,结合图象可知方程有唯一解,则.故选:B\n第II卷注意事项1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.3.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸上.10.i是虚数单位,则复数___________.【答案】##【解析】【分析】根据复数代数形式除法运算法则计算可得;【详解】解:故答案为:11.二项式的展开式中常数项为_________.【答案】【解析】【分析】求出二项式的通项公式,再令对应的幂指数为0即可求解【详解】二项式的展开式的通项公式为,令,解得,所以该二项式展开式中常数项为,故答案为:60【点睛】本题考查二项式中常数项的求解,属于基础题12.一个暗箱内有标号是1,2,3,4,5的五个小球,现从箱中一次摸出两个球,记下号码后放回,如果两个球的号码和是5的倍数,则获奖.若有5人参与摸奖,则恰有3\n人获奖的概率是______,获奖人数的均值是___________.【答案】①.②.1【解析】【分析】基本事件总数,利用列举法求出两个球的号码和是5的倍数包含的基本事件有2个,从而获奖的概率为,有5人参与摸奖,则获奖人数,由此能求出恰有3人获奖的概率和获奖人数的均值.【详解】解:一个暗箱内有标号是1,2,3,4,5的五个小球,从箱中一次摸出两个球,记下号码后放回,基本事件总数,两个球的号码和是5的倍数包含的基本事件有:,,共2个,则获奖的概率为,有5人参与摸奖,则获奖人数,恰有3人获奖的概率是,获奖人数的均值是.故答案为:,1.13.圆和圆的公共弦的长为___________.【答案】【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,再两圆方程作差即可得出公共弦方程,再利用点到直线的距离公式及垂径定理、勾股定理计算可得;【详解】解:由圆①,即,所以圆心,半径;\n又圆②,①②得,即公共弦方程为,圆心到直线的距离,所以公共弦长为;故答案为:14.已知菱形ABCD的边长为2,,点E,F分在边BC,CD上,,.若,则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形,把用表示,最后转化为含有,的代数式,再结合及基本不等式求得的最小值.【详解】解:如图,,,且,,.由题意可得,,,\n,,则,(当且仅当时等号成立),的最小值为.故答案为:.15.已知,,且,则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】依题意可得,再利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为,,且,所以又,当且仅当,即时取等号,,当且仅当,即时取等号,所以,则,即,当且仅当、时取等号;故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共75\n分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知.(1)求角C的大小;(2)若,求的值;(3)若,的面积为,求边a,b的值.【答案】(1);(2);(3)或.【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角,再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;(2)首先由同角三角函数基本关系求出,再利用二倍角公式及两角和的正弦公式计算可得;(3)由面积公式得到,再由余弦定理得到,最后解方程组即可;【小问1详解】解:因为,由正弦定理得,即,故,因为,所以,又,所以.【小问2详解】解:因为,所以,\n所以,,所以.【小问3详解】解:由已知,,又,所以①,由已知及余弦定理得,故,从而,所以②.由①②得或.17.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,,四边形PACQ是矩形,,且平面平面ABCD.(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值;(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小;(3)求点C到平面BPQ的距离.\n【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)连接,交于,连接,由平面平面,可推出平面,平面,故即所求;在中,由可得解;(2)取的中点,连接、,易证,,故即为所求,在中,利用余弦定理求出,即可得到两平面的夹角;(3)由等体积法,即可得解.【小问1详解】解:连接交于,连接,四边形是菱形,,平面平面,平面平面,平面,平面,即为与平面所成角.四边形为矩形,,又平面平面,平面平面,平面,平面,,,在中,,,故与平面所成角的正弦值为.\n【小问2详解】解:取的中点,连接、,由(1)知,平面,四边形是菱形,四边形为矩形,,,,,即为二面角的平面角,在中,,,由余弦定理知,,,故二面角的大小为,则平面与平面的夹角为.【小问3详解】解:设点到平面的距离为,,,,,故点到平面的距离为.\n18.已知数列的前项和为,满足,,数列满足,,且.(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列是等差数列,求数列的通项公式;(3)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)证明见解析,;(3)或.【解析】【分析】(1)运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得,再由等比数列的定义、通项公式可得结果;(2)对等式两边除以,结合等差数列的定义和通项公式,可得所求;(3)求得,由数列的错位相减法求和,可得,化简,即,对任意的成立,运用数列的单调性可得最大值,解不等式可得所求范围.【详解】(1),可得,即;时,,又,相减可得,即,则;(2)证明:,可得,可得是首项和公差均为1的等差数列,可得,即;\n(3),前n项和为,,相减可得,可得,,即为,即,对任意的成立,由,可得为递减数列,即n=1时取得最大值1−2=−1,可得,即或.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19.已知点,椭圆:的离心率为和分别是椭圆的左焦点和上顶点,且的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与相交于,两点,当时,求直线的方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或【解析】\n【分析】(Ⅰ)由的面积为,得出关系,再由离心率结合关系,求解即可得出椭圆方程;(Ⅱ)设,由已知可得,设直线方程为,与椭圆方程联立,得到的关系式,进而得出的关系式,建立的方程,求解即可得出结论.【详解】(Ⅰ)设,由条件知,所以的面积为,①由得,从而,化简得,②①②联立解得,从而,所以椭圆的方程为;(Ⅱ)当轴时,不合题意,故设,将代入得.由题得,设,则因为,所以,从而,整理得,,\n所以直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦中的应用,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20.已知函数,.(1)若,求的最大值;(2)若函数,讨论的单调性;(3)若函数有两个极值点,(),求证:.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)代入的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,进而求出函数的最大值即可;(2)首先对函数进行求导,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;(3)首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根,进而可得判别式、根与系数的关系,所以可以得两极值点,的关系,及极值点的取值范围;然后写出关于极值点的表达式,构造函数,根据函数的单调性证明结论成立即可.【详解】(1)当时,,,当时,,∴单调递增,当时,,∴单调递减,所以的最大值为;(2)由已知得,,.\n①当时,由得所以当时,,单调递增,当时,,单调递;②当时,,所以当时,单调递增;③当时,由,得或,所以当与时,,单调递增,当时,,单调递减;④当时,由,得或,因而当与时,,单调递增,当时,,单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在与上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在与上单调递增,在上单调递减.(3)证明:,则定义域为,,若有两个极值点,(),\n则方程的判别式,且,,,又∵,∴,即,,设,其中,由得,由于,即,∴在上单调递增,在上单调递减,即的最大值为,从而成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.
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