2023八年级数学上册第十一章三角形11.3多边形及其内角和第2课时课件（人教版）

11.3.2　多边形的内角和多边形及内角和八年级上册RJ初中数学 1.什么是多边形？2.什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性质？3.什么是正多边形？4.由三角形内角和定理可以得到哪些推论？5.三角形外角具有什么性质？知识回顾 1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程.3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.学习目标 问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？三角形的内角和是180°.问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？长方形和正方形的内角和都是360°.问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？任意一个四边形的内角和是360°.课堂导入 探究：请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？经过测量发现四边形的四个内角和为360°.试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360°.利用对角线将四边形分成三角形来求解.知识点1多边形的内角和新知探究 解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.∴四边形ABCD的内角和为360°.如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形ABCD的内角和.ACBD 类比四边形内角和的计算方法，请尝试完成下列填空.从五边形的一个顶点出发，可以作出（）条对角线，它们将五边形分成了（）个三角形，五边形的内角和等于180°×（）.从六边形的一个顶点出发，可以作出（）条对角线，它们将六边形分成了（）个三角形，六边形的内角和等于180°×（）.233344 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.通过以上的探究，我们发现多边形的内角和与边数之间有密切的关系.从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°. 例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系？BACD解：若在四边形ABCD中，∠A和∠C互补，则∠A+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°.则∠B与∠D互为补角.如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补.跟踪训练新知探究 例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？提示：1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？3.上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ABCDEF123546 1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6. 3.上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？如果是n边形，会得出什么结论呢？六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6=1080°，六边形的内角和为180°×4=720°，六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°. 在n边形的每个顶点处各取一个外角，n边形的外角和等于多少？性质：多边形的外角和等于360°.n个外角加上与它们相邻的内角等于180°×n，n边形的内角和为180°×（n-2），n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.知识点2多边形的外角和新知探究ABCDEF123546 从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.ABCDEF123546性质：多边形的外角和等于360°. 例1求出下列图形中x的值.解：（1）四边形的内角和为360°，则x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.（2）四边形的内角和为360°，则∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，因为∠1+x°=180°，所以x=95.120°80°75°x°┐140°x°x°1（1）（2）跟踪训练新知探究 例2一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？解：设这个多边形的边数为n，因为各内角都等于120°，所以内角和为120°×n.由内角和公式得：（n-2）×180°.则120°×n=（n-2）×180°，解得n=6.所以它是六边形.你能从多边形外角和的角度想出另外的解法吗？ 方法二解：设这个多边形的边数为n，因为各内角都等于120°，所以各外角都等于180°-120°=60°.由外角和性质得：n×60°=360°，解得n=6.所以它是六边形.例2一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？更多同类练习见《教材帮》数学RJ八上11.3节作业帮 1.（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，则它是几边形？解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为180°.内角和为180°的多边形是三角形.或内角和为（n-2）×180°，则（n-2）×180°=180°解得n=3.所以它是三角形.随堂练习 1.（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为720°.内角和为（n-2）×180°则（n-2）×180°=720°解得n=6.所以它是六边形. 2.已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的角度之比都是7:2，则这个多边形是_____边形，共有_____条对角线.解析：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为2x°,因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以7x°+2x°=180°，解得x=20，外角为40°.边数为360°÷40°=9，则这个多边形是九边形.对角线的条数为.九27 3.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为_____________.解：截去一个角后，新多边形的边数有可能比原多边形增加1条，也有可能比原多边形减少1条，也有可能跟原多边形一样.设新多边形的边数为n，则（n-2）×180°=2520°，解得n=16.所以原多边形的边数可能为15、16或17.15，16或17 多边形的内角和内角和计算公式外角和正多边形课堂小结（n-2）×180°（n为≥3的整数）多边形的外角和等于360°(与边数无关)内角=,外角= 1.在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°.（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由.解：（1）设这个外角度数为x°，则（5-2）×180-（180-x）+x=600，解得：x=120.则这个外角为120°.拓展提升 1.在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°.（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由.拓展提升解：（2）存在.理由如下：设边数为n，这个外角度数为x〫，则（n-2）×180-（180-x）+x=600，整理得x=570-90n. 1.在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°.（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由.拓展提升∵0<x<180，∴0<570-90n<180且n为正整数，所以n=5或n=6.当n=6时，x=30.所以这个多边形的边数为6，这个外角的度数为30°. 分析：多边形的边数不确定，内角和不确定，但是外角和等于360°.因为∠A1=∠A2=∠A3=90°，所以∠A1，∠A2，∠A3所相邻的外角度数确定.外角和度数确定，可以判断剩下的外角和的度数.因为每个内角都是30°的整数倍，所以每个外角都是30°的整数倍.2.若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值. 解：∵∠A1=∠A2=∠A3=90°，∴∠A1，∠A2，∠A3所相邻的外角和为270°.∵多边形的外角和为360°,∴这个多边形其他几个外角的和为90°.2.若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值. ∵每个内角都是30°的整数倍，∴每个外角都是30°的整数倍.∵90°÷30°=3，∴4n+2≤6，解得n≤1.∵4n+2为不小于3的正整数，∴n=1.2.若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.