第9章多边形9.1.2三角形内角和与外角和课件

9.1三角形9.1.2三角形的内角和与外角和,将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.可以将∠A，∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.ABC三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考,三角形的内角和如图，经过△ABC一顶点A作直线B'C'，使得B'C'∥BC.则，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.,由此得到：三角形的内角和等于180°.你还能想出其它的方法推出这个结论吗？,思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE,例1在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.典例精析,例2如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.,问题1：如图，在直角△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？在直角△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，故∠A+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的内角性质,ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．总结归纳,例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∠CAE=∠DBE.理由如下：,三角形的外角的性质问题1在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.,1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.由此得到：2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.,如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.解：因为∠B+∠C=∠CAD，所以∠C=∠CAD-∠B，所以∠C=100°-30°=70°.做一做,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.问题2如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？,解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213,要点归纳三角形的外角和等于360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.,典例精析例4(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,解法一：连接AD并延长到点E.在△ABD中，∠1+∠B=∠3，在△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=51°+20°+30°=101°.ABCD((20°30°E))12)3)4你发现了什么结论？,解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=51°+20°+30°=101°.ABCD(((51°20°30°E)1解法三：连接CD并延长交AB于F(解题过程同解法二).)2F解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结,ABCD(((132(重要发现：∠BDC=∠1+∠2+∠3.,1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝_____.2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.80°20°50°4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAC的度数为________.34°,解：∵∠ADC是△ABD的外角.5.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B，∠C的度数.在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°-40°-70°=70°.∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又∵∠B=∠BAD，ABCD,三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°,三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角