浙江省北斗星盟2023届高三数学5月联考试题（Word版附解析）

高三数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求集合A、由幂函数的性质得集合B，再求并集即可.【详解】由题意可得，易知在定义域单调递增，故，故.故选：B2.若，则（）A.B.C.3D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算及求模公式计算即可.【详解】由，故选：A3.已知单位向量满足，其中，则在上的投影向量是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量满足，所以，由投影向量计算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故选：D4.《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则（）A.直线与直线所成角为B.异面直线与直线的距离为C.四棱锥的体积为1D.直线与底面所成角的余弦值为【答案】B【解析】【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.【详解】由底面，底面为正方形，而，则阳马可补形成正方体 ，如图，对于A，由底面，底面，则，因此直线与所成角为，A错误；对于B，连接，平面，平面，则有平面，从而异面直线与直线的距离等于直线与平面的距离，取的中点，连接，则，而平面，平面，于是，又平面，因此平面，所以直线与平面距离为，B正确；对于C，四棱锥的体积，C错误；对于D，连接，则是直线与底面所成的角，而，因此，D错误.故选：B5.临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有种，恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有种， 恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有种，恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为个，至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有个基本事件，所以至少有3位同学摸到自己写祝福卡片的概率.故选：C.6.定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，，函数的递减区间是，，，于是或，，即，，解得，由，得，无解；或，，解得，由，得，则或，当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足. 故选：C7.已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答.【详解】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，则点为的内心，有，设，，则，于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心，因此令，由，得，因此，即有，即，所以双曲线的离心率为.故选：B 8.已知，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.【详解】由，得，由，得，由，得，令函数，显然，求导得，当时，，单调递减，当时，单调递增，于是，即有，而，所以.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.样本数据的上四分位数为9.5B.若随机变量服从两点分布，若，则C.若随机变量服从正态分布，且是偶函数，则D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1【答案】AC【解析】 【分析】求出上四分位数判断A；求出两点分布的方差判断B；利用正态分布的对称性求出u判断C；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D作答.【详解】对于A，样本数据，由，得上四分位数为，A正确；对于B，，B错误；对于C，由是偶函数，得，又，因此，C正确；对于D，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，D错误.故选：AC10.直三棱桂中，为棱上的动点，为中点，则（）A.B.三棱锥的体积为定值C.四面体的外接球表面积为D.点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】由题意补直三棱柱为正方体，结合正方体的特征可判定A，利用等体积法转化可判断B，利用正方体的外接球及球的表面积公式可判断C，利用三角形中位线判断D即可.【详解】由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD-A1B1C1D1的一半，如图所示.对于A，连接AB1，A1B，结合正方体的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，故AB1⊥面A1BE，面A1BE，则，即A正确；对于B，由题意可知F到上下底面的距离均为0.5，故是定值，即B正确； 对于C，四面体的外接球即正方体的外接球，故其直径为，所以其表面积为,即C错误；对于D，连接A1C，取其中点O，连接OF，易知OF为的中位线，故E从B运动到C的过程中F的运动轨迹长度为BC一半，即D正确.综上ABD三项正确.故选：ABD11.抛物线的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则（）A.的方程为B.的最小值为C.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条D.过点分别作的切线，交于点，则直线的斜率满足【答案】BD【解析】【分析】求出抛物线方程判断A；设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B；设出过点M的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C；求导并结合选项B的信息求解判断D作答.【详解】对于A；依题意，，解得，的方程为，A错误；对于B，由选项A知，，设直线的方程为，由消去y得，设，则有，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，过点且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为， 由消去y得：，当时，，直线与抛物线仅只一个交点，当时，，解得，即过点且与抛物线相切的直线有2条，所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误；对于D，由求导得，由选项B知，，，，由两式相减得：，即，则，于是，，即点，所以，D正确.故选：BD12.已知，则（）A.对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线B.对于给定的实数，存在，使得成立C.在上的最小值为0，则的最大值为D.存在，使得对于任意恒成立【答案】ABC【解析】 【分析】对于A，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B，由可得，从而可判断，对于C，令，再由可得，由题意设为的极小值点，然后列方程表示出，从而可用表示，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D，根据函数值的变化情况分析判断.【详解】对于A，，当时，，当时，，综上，，所以对于任意的实数，存在，使与有交集，所以对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线，所以A正确，对于B，由于给定的实数，当给定时，则为定值，由，得，，所以存在使上式成立，所以B正确，对于C，令，而，由题意可知，当时，恒成立，所以，所以，即，若在上递增，因为在上的最小值为0，所以，得， 所以，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，若在上不单调，因为在上的最小值为0，所以设为的极小值点，则，解得，所以令，则由，得，或，解得，或（舍去），或（舍去），或， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，综上，所以C正确，对于D，，当时，，所以D错误，故选：ABC【点睛】关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C解题的关键是由题意设为的极小值点，则，求出，则可表示出再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中常数项为120，则__________.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于的方程，解出即可.【详解】的展开式通项为，的展开式中的常数项为,解得.故答案为：.14.已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）【答案】或（写出一条即可）【解析】【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M的切线斜率不存在，即为，此时显然与两圆都相切； 若过M的切线斜率存在，不妨设为，则到的距离分别为，即.综上过M与两圆都相切的直线为：或故答案为：或（写出一个即可）15.已知等差数列的公差为，前项和记为，满足，若数列为单调递增数列，则公差的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定恒成立，再分析判断，结合已知等式求解作答.【详解】因为数列为单调递增数列，则当时，，而等差数列的公差，若，由知，数列单调递减，存在正整数，当时，，与数列为单调递增数列矛盾，因此，由，得，即，解得，则，所以公差的取值范围为.故答案为：16.若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.【详解】依题意，方程，即有三个不等实根，设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为， 于是，整理得，因此，则，即有，解得或，所以的取值范围是..故答案：【点睛】思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项公式，再根据，作差得到数列是首项为，公比为的等比数列，即可得解；（2）由（1）可得，利用分组求和法求出，令，利用作差法判断的单调性，即可求出，从而得到关于的对数不等式，解得即可. 【小问1详解】设等差数列的公差为，且成等比数列，，即，解得或（舍去），所以.数列的前项和，当时，，当时，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，.【小问2详解】由（1）可得，.令，，单调递增，.，，.18.在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图. （1）求的值，并估计该市市民压力分值位于区间的概率；（2）估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段，其余为年龄段.根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.压力高压市民非高压市民年龄段A年龄段B附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1），；（2）58；（3）列联表见解析，有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a，再由频率估计概率作答.（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答. （3）由（1）及已知完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答.【小问1详解】依题意，，解得，记“该市市民的压力分值在区间”为事件，则.【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知，压力分值在各分组区间内的频率依次为：，所以.【小问3详解】由（1）知，高压市民有人，年龄段的人数有35人，年龄段的人数为35人，所以列联表为：压力高压市民非高压市民合计年龄段A352560年龄段B3510514070130200零假设：该市高压市民与其年龄在在30岁到50岁无关，，所以有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.19.已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面.（1）若为的中点，证明：平面； （2）若，求平面与平面所夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.（2）根据给定条件，作出平面与平面所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答.【小问1详解】在四棱锥中，为的中点，又，则，而，因此平面，所以平面.【小问2详解】在平面内过点作交直线于，连接，如图，因为平面平面，平面平面，则平面，而平面，则有，又，平面，于是平面，平面，则，有，得，平面，平面，则平面，平面与平面的交线为，因此，有，从而为平面与平面所成二面角的平面角，显然，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.记锐角内角的对边分别为.已知.（1）求； （2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.【小问1详解】由，故，故，，故，因是锐角三角形，故，.故，故，所以.【小问2详解】由正弦定理可知，故，..由是锐角三角形，可知，故， 故.21.已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.（1）求的方程；（2）若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得曲线过点，然后根据曲线的离心率和之间的关系即可求解；（2）设直线的方程为，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.【小问1详解】由题知过点，则，解得，.【小问2详解】设直线的方程为， 联立，得，，则，而，则，故以为切点的切线为，即，同理以为切点的切线为，则，由，故两式作差得：，所以，两式求和得：，所以点由在椭圆上，即.点到直线的距离，所以，， ，而、在上递增且恒正，则在上递增，.22.己知函数有三个极值点，其中.（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；（2）根据题意，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；（3）根据题意可得，将要问题等价转化为，令，利用导数与函数的单调性得到，令，，根据函数的单调性进而求证.【小问1详解】 有两个不等根令，则在单调递增，上单调递减，且.【小问2详解】由（1）知，是的两个根先证令，则在上单调递增又得证【小问3详解】因为，所以，，所以要证，即证：，又因为，即证：.令，所以单调递减，单调递增，，即.令，时，单调递减， 所以所以，即，即成立.【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.