浙江省强基联盟2022-2023学年高一数学下学期5月统测试题（Word版附解析）

2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则图中阴影部分对应的集合是（）A.B.C.D.2.已知（其中为虚数单位），则（）A.B.C.D.3.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面B.任意四面体都可以割成4个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱4.设是平行四边形的对角线的交点，则（）A.B.C.D.5.若，则（）A.-1B.1C.-2D.26.若，则（）A.B.C.D.7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 8.如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且.在线段上分别取靠近点的等分点，记为，.过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是（）A.截面都为平行四边形B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若是纯虚数，则实数D.若，则的最大值为10.在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.11.如图，在中，，则的可能值为（） A.B.C.D.12.在正方体中，为棱的中点，在平面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则（）A.平面B.的轨迹长度为C.的最小值为D.当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为__________.14.已知，则__________.15.已知向量，若，则的最小值为__________.16.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为__________.四､解答题：第17题10分，18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量.（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③.求解以下问题.（选择多个条件的，以所选的第一个计分）（1）求角；（2）若，且，求的内切圆半径.19.（本小题满分12分）在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且.（1）证明：平面平面.（2）求直线与底面所成角的大小.20.（本小题满分12分）杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形.运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车､公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物､饮料､工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），为赛道，，.（1）设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；（2）应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即最大），最长值为多少？21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面平面，平面平面是菱形， .（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）当时，求的值域；（2）若对任意，求实数的取值范围.2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题参考答案1.D，选D.2.D，选D.3.D对于选项，根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；对于选项，在任意四面体内取一点，将点与四面体的各个顶点连接，即可构成4个棱锥，故B正确； 对于选项C，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故C正确；对于选项D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误.故选D.4.A，选A.5.C由得到，由集合相等可以推出，选.6.A，所以，故选A.7.B，则，，要有且仅有三个不相等的实根，则，则，，故选B.8.C过作平行于的平面分别交于.对于，因为平面，且平面平面，所以，同理，故四边形为平行四边形.故A正确.又所成的角为，所以所成的角也为.又为靠近的等分点，故.故.对于，故B正确.对于是关于的开口向下的二次函数，先增后减，错误.对于D，对单调递增，故D正确.故选C. 9.BD对于，当时，，所以错误；对于，设，因为，所以，于是，所以B正确；对于是纯虚数，则即，故C错误；对于，由，得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，所以，所以D正确.故选.10.ACD正确.正确.，D正确.，B错误.11.BD由于是上的两个三等分点，则.由图形可得，因为，所以，整理得，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为，所以选.12.BCD取的中点，连接，则与平面不平行，错误.因为平面平面，所以.取的中点，连接，则的轨迹为正确. 在中，，所以，C正确.取上靠近点的四等分点的中点上靠近的三等分点，五边形即为截面，所以，D正确.故选BCD.13..14.令，则，故.15.，，当且仅当，即，即，时，等号成立.故的最小值为6.16.如图所示，设3个球心分别为个球分别与水平桌面相切于三点，假设半球形的容器与球相切于点，则此时半球形容器内壁的半径最小，最小半径设为，则. 17.解：（1）.，.（2）的夹角为锐角，且不共线，且且，即实数的取值范围为，18.解：（1）选①.因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以.选②.，则，所以，即，所以，所以.选③.因为，所以，又，所以，所以.（2）因为，由（1）可知，所以，又因为，所以，. 由的面积，得.19.（1）证明：取的中点，取上靠近的四等分点，连接.且，同理有且，且四边形是平行四边形，.又平面，平面平面，.又平面平面，平面.平面平面.（2）解：由（1）知，又底面，底面，连接，就是与底面所成的角.在Rt中，，与底面所成角的大小是.20.解：（1）由已知得.在中，由正弦定理得，.又，且，， 即.（2）在中，由正弦定理得，，.当时，取得最大值.21.（1）证明：分别取的中点，连接.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，同理，，平面平面，又平面.（2）解：在上取，连接.由勾股定理可知，，即为二面角的平面角.二面角的平面角的余弦值为.22.解：（1）.令，则.所以，所以的值域为，即的值域为. （2）令，由题意，即满足.因为，所以为开口朝上的二次函数，对称轴为，当时，.①当时，此时，，得，无解.②当时，此时，所以，故或.