第19章矩形、菱形与正方形19.2.2第2课时菱形的判定定理2导学案

第2课时菱形的判定定理2学习目标：1．理解并掌握菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2．学会用菱形的判定与性质相结合解决相关的计算与证明．自主学习一、知识链接1．菱形有哪些特殊性质？2．我们已学过菱形的哪些判定方法？内容是什么？二、新知预习1．类比矩形、菱形的判定定理1，试问：菱形的对角线互相垂直的逆命题是．这个命题是假命题，如图所示．那么，添加一个什么条件能使其成为真命题呢？(第1题图)　　　(第2题图)2．猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形．”动手操作：按教材P116“探索”中的过程进行．当对角线垂直的时候，会得到什么图形？3．用尺规作图作菱形的方法：见教材P116“试一试”．4．菱形的性质定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．合作探究一、探究过程探究点1：菱形的判定定理2问题1：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD互相垂直．求证：四边形ABCD是菱形．【要点归纳】菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：若在□ABCD中，AC⊥BD,则□ABCD是菱形.例1已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形． 探究点2：菱形的判定与性质的综合运用例2如图，在£ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．（1）求证：四边形AECF是菱形．（2）若AB=6，BC=10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．【针对训练】1.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连结EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．二、课堂小结菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的判定与性质的综合运用判定及性质进行计算和证明当堂检测1.判断题，对的画“√”错的画“×”：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；（）(2)对角线相等的四边形是菱形；（）(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（）(4)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（）(5)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形（）2.如果四边形ABCD已经是平行四边形,则添加条件：，平行四边形变为菱形. 3.有一边长为13cm的平行四边形的两条对角线的长分别为10cm和24cm，那么平行四边形的面积是_______________.4.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．参考答案自主学习一、知识链接1.解：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．2.解：定义法和判定定理1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．二、新知预习解：1.对角线互相垂直的四边形是菱形添加一个平行四边形的条件，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.得到的图形是菱形.合作探究一、探究过程探究点1：问题1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【要点归纳】垂直平行四边形【典例精析】例1证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC.∴∠1＝∠2.又∵∠AOE＝∠COF，AO＝ CO，∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴£AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．探究点2：例2证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，且AD∥BC，DE=BF，∴AE=CF，且AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形.（2）∵F为BC中点，∴BF=BC=AD.又∵DE=BF，∴DE=AD，AE=DE=BF.∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.∴EF=AB=6.∴∠BAC=∠AOE=90°.在Rt△ABC中，AC=，∴S菱形AECF=AC×EF=×8×6=24.【针对训练】1.（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∵AF=AB，∴AF=BE.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形.∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形.(2)解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF.BO=OF=3.在Rt△AOB中，AO=，∴AE=2AO=8.当堂检测1.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×2.对角线互相垂直或有一组邻边相等3.120cm24.（1）证明：当∠AOF=90°时，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC． （3）解：四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连结BF，DE.由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．∴四边形BEDF为平行四边形．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，AC=，∴OA=1=AB.又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°.∴∠AOF=45°.∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．