第19章矩形、菱形与正方形19.1.2矩形的判定导学案

2.矩形的判定学习目标：1.理解并掌握矩形的判定方法．2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题，进一步培养学生的分析能力．自主学习一、知识链接1.四边形的内角和为_______.2.矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边角对角线二、新知预习自学教材P102—P104，完成下列问题1．矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法（矩形的定义）：___________________________________________________.2．做一做：按照画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.它是一个矩形吗?说明理由.（探索得到矩形的一个判定）3.思考：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？（得到矩形的另一个判定）总结：矩形判定方法1：_______________________________.矩形判定方法2：_______________________________.合作探究一、探究过程探究点1：矩形判定定理1，2问题1：已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=_______°,∠B+∠C=_______°.∴AD_____BC,AB_____CD.∴四边形ABCD是______________，∴四边形ABCD是________.【要点归纳】矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=90°,则四边形ABCD是矩形.问题2：已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC______△DCB,∴∠ABC______∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=______°.∴∠ABC=_______°.∴□ABCD是__________.【要点归纳】矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：在£ABCD中，若AC=BD，则□ABCD是矩形.例1（教材P104例4）如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.【针对训练】1.如图，在平行四边形ABCD中,∠1=∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？例2（教材P105例6）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．【针对训练】2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.不能确定例3平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连结BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=2，DE=4，求矩形BFDE的面积． 二、课堂小结内容矩形的判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.当堂检测1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）A．测量对角线是否相等B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三个角是否都为直角2.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（　　）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=AD3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 参考答案自主学习一、知识链接1.360°2.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个内角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分二、新知预习解：1.有一个内角为直角的平行四边形是矩形2.是矩形.由题意可知，该四边形有三个内角是直角，且两组对边分别平行，所以它是平行四边形，而且是矩形.3.测量两条对角线的长度，若相等，则该四边形是矩形.总结：有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形合作探究一、探究过程探究点1：问题1：180180∥∥平行四边形矩形问题2：≌=18090°矩形例1证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=BO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴EO=FO=GO=HO.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EO+GO=EG=FO+HO=FH，∴四边形EFGH是矩形.【针对训练】1.解：四边形ABCD是矩形；理由：在平行四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO.∵∠1=∠2，∴AO=BO，即AO=CO=BO=DO.∴AC=AO+CO=BO+DO=BD.∴四边形ABCD是矩形.例2证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∠FAC=∠B+∠ACB=2∠B.∵AE平分∠FAC,∴∠FAC=2∠FAE.∴∠B=∠FAE.∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形.∴AE=BD.∵AB＝AC，AD是BC 边上的高，∴BD=DC.∴AE=DC.又∵AE∥DC，∴四边形ADCE为平行四边形.∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．【针对训练】2.C例3（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴DF∥BE.∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD.∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD.∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=2，DE=4，∴∴∴矩形BFDE的面积=DF×DE=当堂检测1.D2.A3.证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠D=90°.∵AB=5，BC=12，AC=13，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°.∴四边形ABCD是矩形．4.证明：平行四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD.∵CM＝AN，∴OM＝ON.∴四边形NDMB为平行四边形.∵ON＝OB，∴MN=2ON=2OB=BD.∴四边形NDMB为矩形．