2023年高考真题——数学（新高考II卷）（PDF版附解析）

2023新高考2卷很难？一份您值得拥有的逐题详细解析！！！123456789101112ABDBCCDCACACBCDABD1314151611332，−2，，−中选−22228一个即可；(逐题详解)1．在复平面内1+3i3−i对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2【参考解析】z=1+3i3−i=3−i+9i−3i=6+8i，故在第一象限，故选A；2．设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=2A．2B．1C．D．−13【参考解析1】直接验证选项，观察BD，因此先验证a=1，此时A=0,−1，B=1,−1,0，满足，故直接选B；【参考解析2】依题有a−2=0或2a−2=0；当a−2=0时，解得a=2，此时A=0,−2，B=1,0,2，不满足；当2a−2=0时，解得a=1，后面同解析1；3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有()种4515204030304020A．C400C200B．C400C200C．C400C200D．C400C2004020【参考解析】由分层抽样已知初中部抽40人，高中部抽20人，所以为C400C200，故选D；2x−14．若fx=x+aln为偶函数，则a=2x+11A．−1B．0C．D．122x−1【参考解析】由九大奇函数易知y=ln为奇函数，所以y=x+a也要为奇函数，故a=2x+10，故选B；2x25．已知椭圆C：+y=1的左右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，3若ΔF1AB的面积是ΔF2AB的2倍，则m=·1· 2222A．B．C．−D．−3333−2+m2+m2【参考解析】依题有=2×，解得m=−或m=−32(舍)，故选C；223x6．已知函数fx=ae−lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为2−1−2A．eB．eC．eD．ex11x【参考解析】fx=ae−≥0在1,2上恒成立，即0<≤xe在1,2上恒成立，xaxx1−1令gx=xe，则gx=x+1e在1,2上单增，所以≤g1=e，所以a≥e，故选C；a1+5α7．已知α为锐角，cosα=，则sin=423−5−1+53−5A．B．C．D．884−1+541+52α2α3−5【参考解析1】由二倍角公式得cosα==1−2sin⇒sin=，用代选项验4228证法知D对；1+52α2α3−56−25【参考解析2】由二倍角公式得cosα==1−2sin⇒sin===4228165−12α−1+5α−1+5，所以sin=±，而sin=−无选项对应，故本题肯定不满42424足，故选D；验证的事就留到考后分析；8．记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8=A．120B．85C．−85D．−1204a11−q21−q=−5q=4【参考解析1】依题有62⇒a1=1，a11−q=21×a11−q1−q31−q1−q8a11−q14所以S8==×1−4=−85，故选C；1−q3【参考解析2】易知S2，S4−S2，S6−S4，S8−S6也为等比数列，25所以S4−S2=S2⋅S6−S4，解得S2=−1或S2=，42当S2=−1时，S6−S4=S4−S2⋅S8−S6⇒S8=−85；52当S2=时，与S4=−5联立会推出q=−5，故舍去；4多选：9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43π·2· C．AC=22D．ΔPAC的面积为3【参考解析】如上图所示，由几何关系易知PO=1=h，AO=BO=3=r，取AC中点为H，则二面角P−AC−O即为∠PHO=45°，所以OH=PO=1，22所以AH=CH=AO−OH=2，所以AC=22，12对于A：V=πrh=π，故A对；3对于B：S侧=πrl=23π，故B错；对于C：由前面分析知对；1对于D：SΔPAC=×AC×PH=2，故D错；2综上，选AC．210．设O为坐标原点，直线y=−3x−1过抛物线C:y=2pxp>0的焦点且与C交于M，N两点，l为C的准线，则8A．p=2B．MN=3C．以MN为直径的圆与l相切D．ΔOMN为等腰三角形p【参考解析】易知焦点为1,0，所以=1⇒p=2，故A对；2416由抛物线常见结论知MN==，故B错；(下面增加联立的常规过程)；22π3sin3y=−3x−12123联立⇒3x−10x+3=0，所以M,，N3,−23，y2=4x3316所以MN=，故B错；3同样由抛物线常见结论知C对；1316由前面知OM=，ON=21，MN=，故D错；33综上，选AC．考后分析C：5−23MN85圆心为M,，r===+1，故C对；33233·3· bc11．若函数fx=alnx++a≠0既有极大值也有极小值，则xx22A．bc>0B．ab>0C．b+8ac>0D．ac<0bc【参考解析】因为fx=alnx++a≠0，所以定义域x>0，xx22ax−bx−2c2易知fx=3，令ax−bx−2c=0，则题目等价于有两个不相等的正解x1，x2，xb2+8ac>02Δ>0b+8ac>0b>0ab>0故x1+x2>0⇒a⇒，xx>0−2cac<012>0bc<0a故选BCD12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立。发送0时，收到1的概率为α0<α<1，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β0<β<1，收到1的概率为1−β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次：三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．2A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为1−α1−β2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β1−β23C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β1−β+1−βD．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【参考解析】关键信息：发0收1概率为α；发0收0概率为1−α；发1收0概率为β；发1收1概率为1−β；对于A：则为发1收1概率为1−β，发0收0概率为1−α，发1收1概率为1−β，2故PA=1−α1−β，A对；对于B：则为发1收1概率为1−β，发1收0概率为β，发1收1概率为1−β，2故PB=β1−β，B对；对于C：分为发1收2个1和1个0和发1收3个1，223323所以PC=C3⋅β1−β+C3⋅1−β=3β1−β+1−β，故C错；对于D：三次译码为0，分为发0收2个0和1个1和发0收3个0，223323此时P1=C3⋅α1−α+C3⋅1−α=3α1−α+1−α，单次译码为0：P2=1−α，23P1−P2=3α1−α+1−α−1−α=α1−α1−2α>0，故D对；综上，选ABD；·4· 13．已知向量a，b满足a−b=3，a+b=2a−b，则b=_________．【参考解析】22222因为a+b=2a−b，所以a+2a⋅b+b=4a−4a⋅b+b⇒a−2a⋅b=0，222又因为a−b=3⇒a−2a⋅b+b=3⇒b=3⇒b=3．14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_________．【参考解析】由相似易知剩下的棱台的高为3，11所以V棱台=S上+S下+S上S下h=4+16+4×16×3=28；33【参考解析2】由相似易知剩下的棱台的高为3，1212所以V棱台=×4×6−×2×3=28；332215．已知直线x−my+1=0与圆C：x−1+y=4交于A，B两点，写出满足“ΔABC的8面积为”的m的一个值_______．512843【参考解析】S=rsin∠ACB=⇒sin∠ACB=，所以cos∠ACB=±，2555222由余弦定理得AB=r+r−2rcos∠ACB，8545所以AB=或AB=，552545套弦长公式得d=或d=，552252451套心线距得=⇒m=±2或=⇒m=±，1+m251+m25211故填2，−2，，−中的一个即可．22116．已知函数fx=sinωx+ϕ，如图A，B是直线y=与曲线y=fx的两个交点，若2πAB=，则fπ=_______．6π5π【参考解析】由按图索骥法易知ωxA+ϕ=+2kπ，①；ωxB+ϕ=+2kπ，②；664ππ4π两式相减得ωxB−xA=⇒ω×=⇒ω=4，666所以fx=sin4x+ϕ，2π2π8π将3,0代入得4×3+ϕ=2kπ⇒ϕ=2kπ−3，8π2π所以fx=sin4x+2kπ−3=sin4x−3．·5· 2π2π3所以fπ=sin4π−3=sin−3=−2．17．记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ΔABC面积为3，D为BC中点，且AD=1．π(1)若∠ADC=，求tanB；322(2)若b+c=8，求b，c．【参考解析】(1)如图，过A点作AH⊥BC交BC于点H，π3π1则AH=ADsin=，DH=ADcos=，3232123由题易知SΔABC=×BC×AH=3⇒BC==4，2AHAHAH3所以tanB===；BHBD+DH5(思路2：后面也可以用余弦定理算AB，再用余弦定理算，只是没解析1简洁．)(2)由中点与向量易知2AD=AB+AC，22222所以4AD=AB+AC+2AB⋅AC，即4=b+c+2bccosA，22222由余弦定理得4=b+c+b+c−a⇒a=23，123由面积公式得SΔABC=bcsinA=3⇒sinA=，2bc222b+c−a−2而cosA==，2bcbc232−2222因为sinA+cosA=1⇒bc+bc=1⇒bc=4，22与b+c=8联立解得b=c=2．an−6,n为奇数18．已知an为等差数列，bn=，记Sn，Tn为an，bn的前n项和，S4=2an,n为偶数32，T3=16．(1)求an的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn．【参考解析】(1)设an的首项为a1，公差为d，·6· 4×3因为S4=32，所以4a1+d=32⇒2a1+3d=16，①2又因为T3=16，所以b1+b2+b3=16⇒a1−6+2a2+a3−6=16⇒4a2=28⇒a2=7=a1+d，②a1=5∗联立①②解得，所以an=a1+n−1d=2n+3，n∈N．d=2a1+ann2nn−12(2)由(1)知Sn==n+4n(或用Sn=na1+d=n+4n)22当n为奇数时，Tn=b1+b3+⋯bn+b2+b4+⋯bn−1n+1=a1+a3+⋯an−6×+2a2+a4+⋯an−12=2Sn−a1+a3+⋯an−3n+1，n+1a1+an⋅2=2Sn−−3n+12n2−3n−10n+2n−5所以Tn−Sn==，因为n>5，所以Tn−Sn>02222n−3n−105−3×5−10(或类比二次函数性质知Tn−Sn=>=0)22故n为奇数时成立；当n为偶数时，2n−1−3n−1−10nn−1Tn−Sn=Tn−1−Sn−1+bn−an=+2an−an=>0，22综上，当n>5时，Tn>Sn．19．(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为pc；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为qc．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率pc=0.5%时，求临界值c和误诊率qc；(2)设函数fc=pc+qc，当c∈95,105时，求fc的解析式，并求fc在区间95,105的最小值，·7· 【参考解析】(1)因为0.002×5=0.01>0.5%，故c∈95,100，c−95由比例得c=0.002×5×=0.5%⇒c=97.5；100−c100−97.5qc=0.010×5×+0.002×5=0.035；100−95所以临界值c=97.5，误诊率qc=0.035.(2)c−95①当c∈95,100时，pc=0.002×5×=0.002c−95，100−95100−cqc=0.010×5×+0.002×5=0.01101−c；100−95所以fc=pc+qc=0.82−0.008c≥0.82−0.008×100=0.02；c−100①当c∈100,105时，pc=0.002×5+0.012×5×=0.01+0.012c−100，105−100105−cqc=0.002×5×=0.002105−c，105−100所以fc=pc+qc=0.01c−0.98≥0.01×100−0.98=0.02；0.82−0.008c,95≤c≤100综上，所以fc的解析式为fc=，fc在0.01c−0.98,100<c≤105区间95,105的最小值0.02．20．如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值．【参考解析】(1)如图，连接AE，DE，因为DB=DC，DA=DA，∠ADB=∠ADC，所以ΔADC≅ΔADB，所以AC=AB，又因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，·8· 而AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，所以BC⊥平面ADE，又因为AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA；(2)不妨设DA=DB=DC=2，因为∠ADB=∠ADC=60°，所以ΔADB和ΔADC为等边三角形，所以AC=AB=2，22又因为BD⊥CD，所以BC=DC+DB=2，222所以DE=AE=1，所以DE+AE=AD，故由勾股定理逆定理知DE⊥AE，故可建立如图所示的空间直角坐标系所以D1,0,0，A0,0,1，B0,1,0，E0,0,0，AB=0,1,−1，因为EF=DA=−1,0,1，所以F=−1,0,1，所以AF=−1,0,0，设平面DAB的一个法向量m=x1,y1,z1，m⋅DA=0−x1+z1=0则⇒，令x1=1⇒m=1,1,1，m⋅AB=0y1−z1=0设平面ABF的一个法向量n=x2,y2,z2，n⋅AF=0−x2=0则⇒，令y1=1⇒n=0,1,1，n⋅AB=0y2−z2=0·9· n⋅m26所以cosn,m==3×2=3，nm23设二面角D−AB−F的大小为θ，所以sinθ=1−cosn,m=．33所以二面角D−AB−F的正弦值为．321．双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为−25,0，离心率为5．(1)求C的方程．(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点−4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．【参考解析】(1)因为左焦点为−25,0，离心率为5．c2222所以c=25，e==5⇒a=2⇒a=4，所以b=c−a=16，a2y2x所以C的方程为−=1．416(2)显然斜率不为零，故可设直线MN方程为x=my−4，x=my−4联立22消x得4m2−1y2−32my+48=0，设Mx,y，Nx,y，xx1122−=141632my1+y2=24m−13则48，所以my1y2=y1+y2，y1y2=224m−1y1y2易知直线MA1方程为y=x+2，直线NA2方程为y=x−2，x1+2x2−23x+2y2x1+2y2my1−2my1y2−2y22y1+y2−2y21联立得=⋅====−，x−2y1x2−2y1my2−6my1y2−6y13y+y−6y31212x+21即=−⇒x=−1，x−23所以P在定直线上x=−1上．22．2(1)证明：当0<x<1时，x−x<sinx<x．2(2)已知函数fx=cosax−ln1−x，若x=0是fx的极大值点，求a的取值范围．【参考解析】江苏盐城张凡老师、安徽沐志伟老师提供(1)令gx=x−sinx，所以gx=1−cosx≥0，gx在0，1上单调递增，所以gx>g0=0，故sinx<x，右边得证；2令hx=x−x−sinx，则hx=1−2x−cosx，令mx=1−2x−cosx，则mx=−2+sinx<0，所以mx在0，1上单调递减，所以hx=mx<m0=0，2所以hx在0，1上单调递减，所以hx<m0=0，故x−x<sinx，左边得证；2综上，当0<x<1时，x−x<sinx<x．2(2)因为fx=cosax−ln1−x，定义域为−1<x<1，·10· 2x所以fx=−asinax+，则f0=0，显然fx为奇函数，21−x22221+x323+xfx=−acosax+，fx=asinax+，22241−x1−x①当a=0时，显然x=0是fx的极小值点，不满足；π②当a>0时，取与1的较小者为m，2a则当0<x<m时，sinax>0，从而fx>0，2所以fx在0,m上单调递增，所以fx>f0=2−a，21°当2−a≥0，0<a≤2时，fx≥0，所以fx在0,m上单调递增，所以fx>f0=0，所以fx在0,m上单调递增，由奇函数性质知fx在−m,0上单调递减，故x=0是fx的极小值点，不满足；2π2°当2−a<0，a>2时，fx<0，而f2a>0，所以fx在0,m上有唯一的零点x1，所以当0<x<x1时，fx<0，当x1<x<m时，fx>0，考虑到fx为奇函数，所以fx在−x1,0上单调递增，在0,x1上单调递减，故x=0是fx的极大值点，故满足；③当a<0时，令−a=tt>0，2x2x则fx=tsin−tx+=−tsintx+，221−x1−x由前文分析知t>2，即a<−2；综上，a的取值范围是−∞,−2∪2,+∞．·11·