2023年高考真题——数学（新高考Ⅰ卷）（PDF版附答案）

2023新高考I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分第1题已知集合M={−2,−1,0,1,2},N={x∣x2−x−6⩾0},则M∩N=A.{−2,−1,0,1}B.{0,1,2}C.{−2}D.{2}答案C1−i第2题已知z=,则z−z¯=2+2iA.−iB.iC.0D.1答案A第3题已知向量a=(1,1),b=(1,−1).若(a+λb)⊥(a+μb),则A.λ+μ=1B.λ+μ=−1C.λμ=1D.λμ=−1答案Dx(x−a)第4题设函数f(x)=2在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是A.(−∞,−2]B.[−2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)答案D x2x2第5题设椭圆C:+y2=1(a>1),C:+y2=1的离心率分别为e⋅e、若1a22412e2=√3e1,则a=2√3A.B.√2C.√3D.√63答案A第6题过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=√15√10√6A.1B.C.D.444答案BSn第7题记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列:乙:{}为等差数列,则nA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.用是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C11第8题已知sin(α−β)=,cosαsinβ=,则cos(2α+2β)=367117A.B.C.−D.−9999答案B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分第9题有一组样本数据x1,x2,⋯,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,⋯,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,⋯,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,⋯,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯,x6的极差答案BCDp第10题噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060∼90混合动力汽车1050∼60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则A.p1⩾p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1⩽100p2答案ACD第11题已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点答案 ABC第12题下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体答案ABD三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分第13题某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).–答案64第14题在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=√2,则该棱台的体积为.–答案7√66第15题已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.–答案2⩽ω<3 x2y2第16题已知双曲线C:−=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,a2b2−−−−→→→2→点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=−F2B,则C的离心率为.–3答案3√55四、解答题：本题共6小题，共70分第17题已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A−C)=sinB.(1).求sinA.(2).设AB=5,求AB边上的高.答案3√10(1).10(2).6解析(1).由题意得πA+B=3C⇒A+B+C=4C=π⇒C=4所以π33√102sin(A−)=sin(π−A)⇒sinA=44102(2).因为sinB=sin(A+C)=,所以由正弦定理可知√5bc=⇒b=2√10sinBsinC所以由面积法可知11S=⋅b⋅c⋅sinA=⋅c⋅h⇒h=bsinA=622 第18题如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3(1)证明：B2C2//A2D2.∘(2)点P在棱BB1上,当二面角P−A2C2−D2为150时,求B2P.答案(1).建系易证(2).B2P=1解析以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CC1为z轴建立空间直角坐标系,所以B2:(0,2,2),C2:(0,0,3),A2:(2,2,1),D2:(2,0,2)−−→→(1).因为B2C2=(0,−2,1),A2D2=(0,−2,1)−−→→所以B2C2=A2D2,所以B2C2//A2D2.(2).设P:(0,2,t),其中2⩽t⩽4−−−−→→→→所以PA2=(2,0,1−t),PC2=(0,−2,3−t),D2C2=(−2,0,1),D2A2=(0,2,−1).−−→→所以面PA2C2法向量n1=(t−1,3−t,2),面D2A2C2法向量n2=(1,1,2)∘因为二面角P−A2C2−D2为150,所以√6√3∘=|cos150|=⇒t=1(舍)||t=3√2t2−8t+142所以B2P=1第19题已知函数f(x)=a(ex+a)−x.(1).讨论f(x)的单调性.3(2).证明:当a>0时,f(x)>2lna+.2答案见解析∣∣ 解析(1).对f(x)求导得f′(x)=a⋅ex−1,故①a⩽0时,f′(x)⩽−1<0,函数f(x)单调递减②a>0时,令f′(x)=0得x=−lna,故0(−∞,−lna)−lna(−lna,∞)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗(2).f=f(−lna)=a2+1+lnamin11令g(a)=a2−lna−,求导得g′(a)=2a−2a√2令导数为0解得a=,所以2√2√2√2(0,)(,∞)222g′(a)−0+g(a)↘极小值↗√2ln2所以gmin=g()=>0223故g(a)>0,所以f(x)>2lna+2n2+n第20题设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},an{bn}的前n项和.(1).若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式.(2).若{bn}为等差数列,且S99−T99=99,求d.答案(1).an=3n51(2).d=50解析(1).由题意得3a2=3a1+a3,2a2=a1+a3,解得a2=2a1,a3=3a1 n+1又因为{an}为等差数列,所以an=a1⋅n,所以bn=a1因为S3+T3=21,所以916a1+=21⇒a1=3||a1=(舍)a12所以an=3n(2).设an=da⋅n+pa,bn=db⋅n+pb,其中da>1记cn=an−bn=(da−db)n+pa−pb,故{cn}也为等差数列,所以(c1+c99)⋅99S99−T99=c1+c2+⋯+c99==99⋅c50=992所以c50=1n2+n因为bn=,所以代入可得ann2+n22dbn+pb=⟹n+n=da⋅db⋅n+(da⋅pb+db⋅pa)n+pa⋅pbdan+pa所以可得方程组⎧da⋅db=1da⋅pb+db⋅pa=1⎨pa⋅pb=0⎩50(da−db)+pa−pb=151解得d=da=50第21题甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5.(1).求第2次投篮的人是乙的概率.(2).求第i次投篮的人是甲的概率.(3)设随机事件Y为甲投球次数,Y=0,1,⋯,n,求E(Y).答案3(1).5i−1121(2).⋅()+653⎪⎪ n−1n512(3).E(Y)=+−⋅()31895解析12143(1).P=⋅+⋅=25255(2).记ai为第i次投篮的人是甲的概率,所以3121ai=⋅ai−1+(1−ai−1)=ai−1+5555所以i−1121121ai−=(ai−1−)⇒ai=⋅()+353653(3).E(Y)=a1+a2+⋯+an01n−11222n=[()+()+⋯+()]+65553n21−()15n=⋅+6231−5n−1n512=+−⋅()318951第22题在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的2轨迹为W.(1).求W的方程.(2).已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3√3.答案1(1).W:x2=y−4解析 1(1).由题意得W为抛物线,且准线为y=0,焦点为(0,),这是由标准抛物线方程211x2=2py向上平移个单位得到的,故可设为x2=2py−4411因为焦点到准线的距离为p,所以p=,所以W:x2=y−.24(2).不妨设A,B,C在抛物线上,且AB⊥BC,所以x2−x2x2−x2yB−yCyB−yABCBA⋅=−1⇒⋅=−1⇒(xB+xA)(xB+xC)=−1xB−xCxB−xAxB−xCxB−xA1令xB+xA=m,xB+xC=−,由对称性,不妨设|m|⩽1m所以周长可表示为1⋅周长=AB+BC22222=√(yA−yB)+(xA−xB)+√(yC−yB)+(xC−xB)|xC−xB|=|xA−xB|⋅√1+m2+⋅√1+m2|m|⩾√1+m2⋅(|xA−xB|+|xC−xB|)⩾√1+m2⋅|xA−xC|1=√1+m2⋅m+m23√(1+m)=m2(1+x)3(x+1)2(2x−1)令f(x)=(0<x<1),则f′(x)=,故kx2111(0,)(,1)222f′(x)−0+f(x)↘极小值↗127√2所以f(x)⩾f()=,当且仅当|m|=,所以有24227周长>2⋅√=3√3∣∣4