2023高考压轴卷——数学（新高考Ⅰ卷）（Word版附解析）

2023新高考I卷高考压轴卷数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）A.B.C.D.2.已知集合，，，则C中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知函数若，则m的值为（）A.B.2C.9D.2或95.的展开式中，常数项为（）A.2B.6C.8D.12 6.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（）AB.C.D.7.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（）A.B.C.D.8.已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（）A.47B.48C.57D.58 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（）A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立C.D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为πB.函数的对称轴方程为（）C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D.方程在[0，10]内有7个根11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4B.C.△NAB面积的最小值为6D.若直线AB的斜率为，则12.已知函数，是自然对数的底数，则（）A.的最大值为B.C.若，则D.对任意两个正实数，且，若，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持 不变，则整数的值可以是___________（写出一个满足条件的m值即可）.14.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为__________.15.在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.16.已知函数，则函数的最小值为___________；若关于x的方程有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列. 18.记△ABC中，角所对边分别为，且（1）求的最小值；（2）若，求及△ABC的面积.19.在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值. 20.已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.（1）求数列和的通项公式；（2）删去数列中的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.21．已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接，分别交直线于P，Q两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．（1）求证：点R为线段的中点；（2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． 22．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若有3个零点，，，其中．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：． 【KS5U答案1】B【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式，再求其共轭复数即可.【KS5UKS5U解析】，所以z的共轭复数为，故选：B.【KS5U答案2】C【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案.【KS5U解析】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C【KS5U答案3】A【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别判断.【KS5U解析】充分性：当时，直线与即为：与，所以两直线平行.故充分性满足；必要性：直线与平行，则有：，解得：或.当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；所以或.故必要性不满足.故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选：A【KS5U答案4】C【分析】由题可得或，即求. 【KS5U解析】∵函数，，∴或，解得.故选：C.【KS5U答案5】D【分析】先将展开，再求，展开式的通项，即可求出答案.【KS5U解析】，展开式的通项为：，当即时，，所以的展开式中，常数项为.故选：D.【KS5U答案6】A【分析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，表示出，由求出，再进一步求出，即可求出答案.【KS5U解析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故选：A. 【KS5U答案7】D【分析】由题可得为的中点，建立坐标系利用坐标法即得.【KS5U解析】∵D在线段BC上，且，∴，又为线段AD上一点，若与的面积相等，∴，为的中点，如图建立平面直角坐标系，则，∴，∴.故选：D.【KS5U答案8】C【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.【KS5U解析】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上， 则，此时数列共有项数为，即得，解得由于，而，故，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满足且的n的最小值为，故选：C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.【KS5U答案9】CD【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B;事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C;根据条件概率的公式计算，可判断D.【KS5U解析】对于A,由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，A错误；对于B，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，因此事件A与事件B不是相互独立关系，B错误；对于C，事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，故，故C正确；对于D，,故,故D正确，故选：CD【KS5U答案10】ACD【分析】先对函数化简变形，再利用正弦函数的性质逐个分析判断即可【KS5U解析】 ，对于A，函数的最小正周期为，所以A正确，对于B，由，得，所以函数的对称轴方程为，所以B错误，对于C，的图象向右平移，得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以C正确，对于D，由，得或，得或，由，得，由，得，所以方程在[0，10]内有7个根，所以D正确，故选：ACD【KS5U答案11】ABD【分析】设直线AB方程为,，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C;直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.【KS5U解析】由题意知,设直线AB方程为,， 联立，可得，，故，则，故当时，的最小值为4，故A正确；又，即M点纵坐标为2m,故，当时，轴，NF在x轴上，此时;当时,，，故，综合可知，,故B正确；又点N到直线AB的距离为，故，当时，取最小值4，故C错误；若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，则，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正确，故选：ABD【KS5U答案12】ABD 【分析】对于A，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B，根据函数的单调性，即可判断；对于C，构造函数，判断其单调性，结合即即可判断；对于D，将展开整理得，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断.【KS5U解析】由题意得，则，当时，，递增，当时，，递减，故，故A正确；由于，由于当时，递减，故，即，即，因为，故，即，故，故B正确；因为，即，设，由于当时，递增，当时，递减，故单调减函数，故，即，由于，不妨设，则，即，故C错误；对任意两个正实数，且，若，不妨设，即，设，则，则，， 而，设令，则，即为单调增函数，故，即成立，故，故D正确，故选：ABD【KS5U答案13】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【KS5U解析】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以的值可以是7或8或9或10.故答案为：7或8或9或10.【KS5U答案14】5【分析】设出点的坐标，利用的长度计算出，再利用抛物线的定义即可求解.【KS5U解析】设点，由题意可知：，解得：，所以，故答案为：.【KS5U答案15】##【分析】先求出内切球的半径，时，即，底面△ABC周长的最小，代入即可求出答案.【KS5U解析】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为 ，所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当“”时取等.当时，底面△ABC周长最小，所以，所以，所以此时△ABC周长的最小值：.故答案：.【KS5U答案16】①.2a②.【分析】对于第一空，求函数倒数，判断导数正负，判断函数单调性，即可求得最小值；第二空，将方程变形为，构造函数，将根的问题转化为图象的交点问题，根据函数的单调性可知，在上图象和图象有一交点，即关于x的方程有一个实根，故需满足在时，二者图象无交点，由此构造函数，分离参数，利用导数，求得答案.【KS5U解析】对于第一空：由可知，当时，，，对于，其图象对称轴为，故时，为增函数，则，即，故当时，是单调增函数，由于，故当时，单调减函数，故； 第二空：即，即，而函数结合第一空的分析可知，在时取得最小值，如图示，而函数，，故是单调增函数，由图可知，在上图象和图象有一交点，即关于x的方程有一个实根，故需满足在时，二者图象无交点，此时而，则即，则需满足无解，对于，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故， 故要使无解，需满足，故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最小值以及方程有唯一跟的问题，综合性较强，要求思维能力较强，解答时的关键是将方程有唯一跟的问题转化为图象有一个交点的问题，数形结合灵活处理.【KS5U答案17】【分析】（1）根据平均数的求法，求得平均数.（2）利用二项分布的知识求得的分布列.【小问1KS5U解析】由已知得：.【小问2KS5U解析】因为购买一件产品，其质量指标值位于内的概率为0.2，所以，所以.，，，，所以X的分布列为X0123P0.5120.3840.0960.008【KS5U答案18】（1）;（2）5，【分析】（1）先利用题给条件求得，再利用均值定理即可求得的最小值；（2）先求得，再利用正弦定理即可求得及的面积.【小问1KS5U解析】因为，所以， 即，因为，所以，所以，（当且仅当时等号成立.）所以的最小值为.【小问2KS5U解析】因为，由（1）得，，因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以的面积为.【KS5U答案19】【分析】（1）求出，利用勾股定理证明，再根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【小问1KS5U解析】证明：因为，，所以，则，所以，即， 因为平面ABC∥平面，平面ABC⊥平面，所以平面平面，因为平面平面，所以平面，又平面，所以；【小问2KS5U解析】解：如图，以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，取x=1，则，又因为x轴⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【KS5U答案20】（1）， （2）【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案;（2）删去数列中的第项（其中）后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案.【小问1KS5U解析】设数列的公差为，数列的公比为q，由已知得，解得，，所以；所以，，所以.【小问2KS5U解析】由题意可知新数列为：，，，，…，则当n为偶数时，则当n为奇数时,，综上：. 【KS5U答案21】（1），，设，，，联立，得，则，，（2分）直线，令得，所以，同理，．所以．直线，令得，所以，则，点R为线段的中点．（2）由（1）知，，又，所以．而 ，所以．故存在使得．【KS5U答案22】（1）当时，，，则在恒成立，所以在单调递增，故的单调递增区区间为，无单调递减区间．（2）（ⅰ），，，则除1外还有两个零点，，令，当时，在恒成立，则，所以在单调递减，不满足，舍去；当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点，所以，解得，当时，设的两个零点为，则，，所以．当时，，，则单调递增；当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3个零点，，．综上，实数a的取值范围为．（ⅱ）因为，所以若，则，所以．当时，先证明不等式恒成立，设，则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立．由，可得，因为，所以，即，两边同除以， 得，所以．