2023高考压轴卷——数学（理)（全国甲卷）（Word版附解析）

2023全国甲卷高考压轴卷理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1.设复数满足，则（）A.B.C.D.2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.已知，，若，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.下列说法正确的是（）A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B.某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C.数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半D.在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位5.已知实数，满足约束条件则的最小值是（）A.B.C.3D.56.如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）A.B.C.D.7.已知函数，则下列说法正确是（）学科网（北京）股份有限公司 A.的一条对称轴为B.的一个对称中心为C.在上的值域为D.的图象可由的图象向右平移个单位得到8.已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（）A.B.C.D.9.“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.10.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，学科网（北京）股份有限公司 则椭圆C的标准方程为（）A.B.C.D.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（）A.21B.24C.27D.3612.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把KS5U答案填在答题卡相应的位置）13.的展开式中常数项是______________．（用数字作答）14.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是______.（结果用含的式子表示）15.双曲线的一条渐近线与曲线交于M、N两个不同的点，则__________．16.①，②，③，④，上述不等式正确的有______（填序号）三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）学科网（北京）股份有限公司 （一）必考题：60分17.4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动．活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生235151812女生051010713（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”①完成下列2×2列联表阅读爱好者非阅读爱好者总计男生女生总计②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，其中0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818.在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.（1）求数列的通项公式；学科网（北京）股份有限公司 （2）已知数列，求数列的前n项和.19.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)。（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.20.若抛物线上的点到焦点的距离为2，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点.（1）若在线段上，是的中点，证明：；（2）过直线交于，，以为直径的圆交轴于，，证明：为定值.学科网（北京）股份有限公司 21.已知，记的导函数为．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，且，证明：．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负学科网（北京）股份有限公司 半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）当付，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【KS5U答案1】A【分析】根据复数除法运算可求得，由复数模长运算可求得结果.【KS5U解析】由得：，.故选：A.【KS5U答案2】B学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，再求并集即可.【KS5U解析】集合表示函数的值域，故.由，得或，故.所以.故选：B.【KS5U答案3】D【KS5U解析】，，，，与的夹角为,故选D【KS5U答案4】D【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；第二组数据是由第一组乘以2得到的，可由方差的关系判断C；由回归分析模型的性质以及回归方程b的含义判断D．【KS5U解析】对于A选项：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A选项错误；对于B选项：概率只说明事件发生的可能性，事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B选项错误；对于C选项：根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C选项错误；对于D选项：在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D选项正确．故选：D．【KS5U答案5】B【分析】作出可行域，根据几何意义求解即可.【KS5U解析】根据题意，画出可行域，如图中阴影部分所示.联立方程得,所以.由，得.由图知，当直线过点时，取得最小值，即.故选:B.【KS5U答案6】C【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高.【KS5U解析】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图学科网（北京）股份有限公司 2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.故选：C【KS5U答案7】C【分析】化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.KS5U解析】，因为，故不是对称轴，故A错误.，不是的一个对称中心，故B错误.当时，，故，所以，即在上的值域为，故C正确.的图象向右平移后对应的解析式为，当时，此时函数对应的函数值为，而，故与不是同一函数，故D错误.故选：C.【KS5U答案8】D【分析】根据图象判断函数奇偶性，结合特殊值，可得KS5U答案.【KS5U解析】易知为偶函数，由，则为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意.因为当时，无意义，所以C不符合题意.故选：D学科网（北京）股份有限公司 【KS5U答案9】A【分析】根据其外接球为正四棱柱的外接球，再结合球的表面积公式，即可得到结果.【KS5U解析】由题意可得，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱的外接球，即，所以，则该正多面体外接球的表面积故选:A【KS5U答案10】B【分析】由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求.【KS5U解析】如图，由已知可设，又因为根据椭圆的定义，在中由余弦定理得，所以故椭圆方程为：故选：B【KS5U答案11】C学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.【KS5U解析】在△ABC中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，而，则，因角A的内角平分线的长为3，由得：，即，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值27.故选：C【KS5U答案12】D【分析】根据已知条件求出当时，函数，做出示意图如下图所示：要使，则需，而由可解得，从而得出的范围.【KS5U解析】当时，，而时，所以又，所以当时，，当时，，做出示意图如下图所示：要使，则需，而由解得，所以，故选：D.【KS5U答案13】15【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，从而令求出，得到常数项.【KS5U解析】的展开式的通项公式，学科网（北京）股份有限公司 令，解得，所求常数项为．故KS5U答案为：15【KS5U答案14】【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果．【KS5U解析】解：圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，圆锥的底面半径，母线，故圆锥的侧面积．故KS5U答案为：．【KS5U答案15】##【分析】根据题意先求出双曲线的一条渐近线方程，然后与曲线联立，求出交点、的坐标，代入两点间距离公式即可求解.【KS5U解析】由题意知：双曲线的渐近线方程为：，不妨取，即，因为曲线可化为，联立方程组，解得：或，取，所以，故KS5U答案为：.【KS5U答案16】②④【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.【KS5U解析】对于①：，，∴，不等式①错误；对于②：，∴，即，不等式②正确对于③：，∴，即，不等式③错误；对于④：，令，则在上恒成立，在上单调递增，∴，，得，，∴，∴，不等式④正确.学科网（北京）股份有限公司 故KS5U答案为：②④【KS5U答案17】【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.【小问1KS5U解析】解：由题中表格可得2×2列联表如下阅读爱好者非阅读爱好者总计男生451055女生301545总计7525100由题意得,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．【小问2KS5U解析】解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，所以，X的取值为0，1，2，所以X的分布列为；X012P,所以X的数学期望是．【KS5U答案18】（1）,（2）【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式；（2）用错位相减法求数列前n项和【小问1KS5U解析】学科网（北京）股份有限公司 由题意，，结合函数的单调性，可知，所以数列中的最大项为，最小项为，所以，即，所以等比数列的公比，【小问2KS5U解析】，，，两式相减得：，故.【KS5U答案19】【分析】（1）取线段中点，连接、，可得四边形是平行四边形，然后线面平行的判定定理即得；（2）由题可得即为二面角的平面角，以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．【小问1KS5U解析】取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，∴O是线段BF与CE的中点，∴且，在图1中且，且．所以在图2中，且，∴且，∴四边形AOHG是平行四边形，则，由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．【小问2KS5U解析】由图1，，，折起后在图2中仍有，，∴即为二面角的平面角．∴，以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，学科网（北京）股份有限公司 设，则、、，∴，，易知平面ABE的一个法向量，设平面OAB的一个法向量，由，得，取，则，，于是平面的一个法向量，∴，∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．【KS5U答案20】【分析】（1）由焦点半径公式求得，得抛物线方程，准线方程，，焦点坐标．设设直线方程为，设，直线方程与抛物线方程联立，应用韦达定理可得，表示出坐标，只要证明，利用，可证；（2）设直线方程为，，的中点为，同（1）方法求得，可得点坐标，再求得弦长，可得圆方程，设，，代入峭方程后易得，从而得到　证明．【KS5U解析】（1）由题意，，抛物线方程为，焦点为，准线方程为，设直线方程为，设，由得，，，所以，又，要证，即证，即证，只要证，又，，所以成立，所以．（2）设直线方程为，，的中点为，学科网（北京）股份有限公司 由得，，，，所以，，即，又，所以以为直径的圆方程为，令得，设，则，所以为定值．【KS5U答案21】【分析】（1）求导得到，进而得到；令，分别在、的情况下，结合二次函数零点的分布可确定，即的正负，由此可得单调性；（2）根据零点个数和（1）的结论可知，结合可确定；根据可将所证不等式转化为，根据可表示出，整理得到，构造函数，利用导数可求得单调性，得到，从而证得结论.【小问1KS5U解析】由题意知：定义域为，，即，；令，则；①当，即时，恒成立，即恒成立，在上单调递增；②当，即或时，令，解得：；当时，，在上恒成立，即恒成立，在上单调递增；当时，，当时，，即；当学科网（北京）股份有限公司 时，，即；在上单调递增，，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，，在上单调递减.【小问2KS5U解析】若有三个零点，则由（1）知：，又，，，，；，，又，；要证，只需证，即证；由得：，即，即证，又，只需证；令，则，在上单调递增，，即当时，恒成立，，，则原不等式得证.【KS5U答案22】（1），；,（2）2【分析】（1）先将化为普通方程，再根据极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；先利用两角和的正弦公式化简整理，再结合极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；（2）先求得和，然后结合三角形的面积公式以及点的极坐标的几何意义即可求解.【小问1KS5U解析】学科网（北京）股份有限公司 由题意得：的普通方程为,的极坐标方程为，.由，得即的直角坐标方程为：．【小问2KS5U解析】射线与曲线交点的极坐标为,由得，△AOB的面积为．【KS5U答案23】（1）,（2）【分析】（1）分别在，，条件下化简绝对值不等式，并求其解集；（2）利用绝对值三角不等式得到，依题意可得，解绝对值不等式即可【小问1KS5U解析】当时，，当时，恒成立；当时，即，解得；当时，即，解得；综上，所以不等式的解集为.【小问2KS5U解析】依题意，即恒成立，，当且仅当时，等号成立，所以，故，所以或，解得.学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围是.学科网（北京）股份有限公司