2023高考压轴卷——数学（文)（全国甲卷）（Word版附解析）

2023全国甲卷高考压轴卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.i为虚数单位，则（）A.B.C.D.3.已知平面向量与，若，，，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”.越大关系越强；越小关系越弱.（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）甲：患心脏病患其他病总计秃顶302050不秃顶50100150总计80120200乙：患心脏病患其他病总计秃顶255580不秃顶2595120总计50150200丙：患心脏病患其他病总计秃顶8565150 不秃顶351550总计12080200丁：患心脏病患其他病总计秃顶8832120不秃顶621880总计15050200最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（）A.甲B.乙C.丙D.丁5.设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.6.正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（）A.B.C.D.以上都不正确7.抛物线C：，若直线l：与C交于A，B（左侧为A，右侧为B）两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为（）A.-3B.1C.3D.-18.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A.B.C.D.9.如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点坐标分别为，，，，则该三棱锥俯视图的面积为（）A.9B.8C.7D.6 10.定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（）A.B.C.D.11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（）（参考数据：，）①②③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A.②③④B.②④C.①②④D.②③12.已知，，，则（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面区域，则的面积为___________.14.函数的极大值点为___________.15.甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.（3）乙和丙不会两人都借小说.则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.16.在在△ABC中，，.则的取值范围为___________.（结果用区间表示）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的外接圆的半径为1，且.（1）求a的值；（2）若，求△ABC的面积.18.四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量8090100110频数51078（1）以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率． 19.如图所示，已知在△ABC是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将△AMN沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.（1）求证：；（2）若，求点M到平面的距离.20.已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，，且点在椭圆上，求直线的方程． 21.已知函数，其中，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4－4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值选修4－5：不等式选讲23.已知，，．函数．（1）当，时，解关于的不等式．（2）当的最小值为1时，证明． 【KS5U答案1】B【分析】利用一元二次不等式的解法，先求出集合，再根据交集的定义即可求解.【KS5U解析】解：因为集合，又集合，所以，故选：B.【KS5U答案2】B【分析】利用复数的乘法和除法运算法则，运算即得解【KS5U解析】由题意，，故选：B【KS5U答案3】C【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【KS5U解析】因为，所以， 由，解得：，故选：C【KS5U答案4】A【分析】根据公式分别计算四组数据对应的值，然后比较大小即可得KS5U答案.【KS5U解析】解：由题意，，，，，因为，所以，所以最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是甲组，故选：A.【KS5U答案5】A【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出和的关系即可.【KS5U解析】利用双曲线的定义及标准方程，得到,又，因为，所以；故，即故KS5U答案为：【KS5U答案6】C【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.【KS5U解析】设等差数列公差为，则，又，，均为正项数列，.故选：C【KS5U答案7】D【分析】利用解方程组法求出点A的坐标，结合导数的几何意义进行求解即可.【KS5U解析】直线l与抛物线C方程联立，得或，因为左侧为A，右侧为B，，所以，由，所以抛物线C在点A处的切线的斜率为，故选：D【KS5U答案8】C【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围. 【KS5U解析】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C【KS5U答案9】B【分析】根植俯视图的定义，结合三角形的面积公式进行求解即可.【KS5U解析】点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，因此三棱锥的俯视图为：，根据空间两点间距离公式可得：，，，因此是等腰三角形，底边上的高为：，所以的面积为：，故选：B【KS5U答案10】C【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集.【KS5U解析】由题意，函数满足，可得，所以函数是周期为4的函数，又由为上的奇函数，可得，所以，可得函数的图象关于对称，因为当时，可函数的图象，如图所示，当时，令，解得或，所以不等式的解集为. 故选：C.【KS5U答案11】A【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得KS5U答案.【KS5U解析】对于①选项，元，故①错误对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；对于③选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，所以，即所以2020年小王年利润为元，故③正确；对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.故选：A.【KS5U答案12】D【分析】由，可得，构造函数，利用函数的导数与单调性的关系，可得在上单调递增，进而可得，，从而即可得KS5U答案.【KS5U解析】解：因为，所以；令，，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以； 同理，所以，即，也即，所以，所以.综上，，故选：D.【KS5U答案13】【分析】作出不等式组约束的平面区域，进而求解即可.【KS5U解析】解：如图，作出不等式组约束的平面区域（阴影部分），所以联立方程得，易得，所以的面积为，故KS5U答案为：【KS5U答案14】【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.【KS5U解析】由题意知：定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点.故KS5U答案为：.【KS5U答案15】【分析】采用假设法和排除法，分别假设甲借的是杂志和小说，根据条件依次判断即可.【KS5U解析】①假设甲借的是杂志，由（1）知：乙借的是小说；由（2）知：丙借的是小说；与（3）的结论矛盾，不合题意；②假设甲借的是小说，由（2）知：丙借的是杂志；则乙可借杂志，也可借小说，共种方案； 综上所述：满足上述三个条件的不同借书方案有种.故KS5U答案为：.【KS5U答案16】【分析】利用正弦定理角化边和三角形三边关系可知的范围，利用余弦定理表示出，将所求数量积化为关于的函数的形式，利用二次函数值域求解方法得到结果.【KS5U解析】，则由正弦定理可得：，令，则又，，即；，，，，即取值范围为.故KS5U答案为：.【KS5U答案17】（1），（2）【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化简得，结合三角形内角性质、正弦定理求a值；（2）余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积.【小问1KS5U解析】由已知及正弦定理得：.又，即.又，所以.因为△ABC的外接圆的半径为1，所以，所以，得，又，所以，则.【小问2KS5U解析】在△ABC中，由余弦定理得：，且，，所以，解得或（舍去），所以△ABC的面积为.【KS5U答案18】（1）96；（2）可能取值为360，430，500，.【分析】（1）利用求平均数的公式即得；（2）分别求得日需求量碗，碗和100碗以上时的日利润和对应概率，即得.【小问1KS5U解析】该米粉店日需求量的平均数为：； 【小问2KS5U解析】当日需求量为80碗时，该店每天获利当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．所以，Y的可能取值为360，430，500所以，Y低于450元的概率为．【KS5U答案19】【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.【小问1KS5U解析】证明：因为是边长为6的等边三角形，且，在中，可得，又因为点是线段的中点，所以，因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2KS5U解析】解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，因为,，可得，,则的面积为，又由平面，且，所以三棱锥的体积为，在直角中，，可得，所以的面积为，设点到平面的距离为，因为，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等， 所以点到平面的距离为.【KS5U答案20】（1），（2）【分析】（1）根据题意设椭圆的方程，代入点列式运算，求解即可得结果；（2）设，，根据题意整理可得，结合直线方程以及韦达定理运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1KS5U解析】由题意可设椭圆的方程，∵椭圆经过，两点，则，即，解得，∴椭圆的方程为．【小问2KS5U解析】设，，则，，∵点A、B均在椭圆上，则，，且点E在椭圆上，则，即，可得.当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，消去得， 则，，，∵，则，∴，解得，故所求直线的方程为；当直线斜率不存在时，则直线的方程为，即，可得，该方程组无解，不合题意；综上所述：所求直线的方程为．【KS5U答案21】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【分析】（1）直接通过求导判断单调区间即可；（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.【小问1KS5U解析】当时，．∴．∵，∴当时，；当时，．∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2KS5U解析】∵，，，令，则．令，则．∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，∴方程有唯一解．∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．等价于方程有两个不相等的实数解．构造函数，则．∵，∴当时，；当时，． ∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，；，．∴只需要，即．构造函数，则．∴当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增．∵，∴当时，恒成立．∴的取值范围为．【KS5U答案22】（1），；（2）【分析】（1）消去参数得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．【小问1KS5U解析】由得利用，得，即为的普通方程，由，得，即，即，直线直角坐标方程为；【小问2KS5U解析】点在直线上，可得其参数方程为（为参数），把代入得，，所以，，不同号． ．【KS5U答案23】【分析】（1）利用绝对值的性质，运用分类讨论思想进行求解即可；（2）利用绝对值的性质，结合基本不等式进行证明即可.【小问1KS5U解析】当，时，，，当时，；当时，，显然不成立；当时，，所以不等式的解集为：；【小问2KS5U解析】因为，，，所以有：，当的最小值为1时，即当时，（当且仅当时取等号），，当且仅当时取等号，所以.