四川省 2022-2023学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

江油中学2021级高二下期半期考试数学(理)试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.已知命题：，，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】全称命题的否定,改为,对结论进行否定【详解】由题,则为,,故选:A【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题2.“”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由推得出，故充分性成立，由推不出，当，时满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件；故选：A3.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：）与直径（单位：）的关系式为，估计当时，气球体积的瞬时变化率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求导后，代入即可求得结果. 【详解】设，则，，即当时，气球体积的瞬时变化率为.故选：C.4.函数的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.【详解】由题得，所以函数f(x)在上单调递减，所以，故选A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知p:若在单调，则，q:，则下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意先判断命题p，的真假，再利用真值表判断复合命题的真假即可.【详解】二次函数在区间上具有单调性，由对称轴，故，即命题p为假命题；令，则，在上，所以在上单调递增，即，所以在上恒成立，令，则， 在上，所以在上单调递增，即，所以在上恒成立，故命题q假命题，根据复合命题真假的判断可得为真命题，，，为假命题.故选：C6.函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A.函数在处取得最小值B.是函数的极值点C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率大于零【答案】B【解析】【分析】根据极值和最值的关系即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；由导数的正负和函数的增减关系即可判断C；由导数的几何意义即可判断D．【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以在处取得最小值，故A正确；对于B，时，，当时，，所以不是函数的极值点，故B错误；对于C，当时，，在区间上单调，故C正确；对于D，因为，在处切线的斜率大于零，故D正确．故选：B．7.下面说法正确的有（）个①，②若，则， ③命题“若，则”的否命题为真命题，④命题“若，则有实根”的逆否命题为真命题.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求出的范围可判断①，利用作差法比较大小可判断②，根据命题的知识可判断③④.【详解】当时，，当且仅当时等号成立，当时，，当且仅当时等号成立，故①错误；若，则，即，故②正确；命题“若，则”的否命题为“若，则”，为假命题，故③错误；有实根的充要条件是，即，故④正确；故选：B8.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号．故选：D．9.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导得，等价于在区间的函数值有正有负，解不等式组即得解.【详解】解：，令，由于函数在内不是单调函数，则在区间的函数值有正有负，而二次函数开口向上，对称轴为轴，所以在区间上递增，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：A.10.若定义在上函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，求导可得，从而得在R上单调递减，由此得解.【详解】令，则，所以在R上单调递减，又因为， 所以等价于，即，所以，所以不等式的解集为.故选：C.11.已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将恒成立转化为的导函数大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.【详解】因为，所以，即，因为恒成立，所以函数在上任意两点连线的斜率大于1，则的导函数大于1在上恒成立，所以，整理得，所以，因为二次函数开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，所以.故选：A.12.已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先对求导结合函数定义域，根据参数a的正负分情况讨论函数单调性及极值点的情况，最终求解.【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．因为，所以只有唯一变号正实根．当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，综上所述，．故选：A.二．填空题（每小题5分，共20分）13.已知为虚数单位，若复数满足，则______.【答案】【解析】【分析】先将整理为的形式,再由模的定义求解即可.【详解】由题,因为,所以,所以,故答案为:【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法运算.14.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____． 【答案】[2，6]【解析】【分析】写出命题否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.【详解】由命题“”的否定为“”，因为命题“”为假命题，则“”为真命题，所以，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.15.直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为_____【答案】【解析】【分析】=，然后通过导数求该函数的最小值即可.【详解】令，则，当时，，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的最小值为. 故答案为：.16.已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，设，可得，求出的单调性，分，讨论，求出的单调性和最值，进而可得答案.【详解】由题意可知，设，则，所以在上为增函数，，（1）当，即时，，从而在上为增函数，所以恒成立；（2）当，即，令，则.又，所以，使得，从而在上为减函数，当时，，不合题意.综上得取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.三．解答题（17题10分，其余个各题各12分，共70分）17.设命题：实数满足，命题：实数满足.（1）若，若同为真命题，求实数的取值范围.（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先代入化简两个命题，再根据、同为真命题求解； （2）先化简两个命题，再根据是的充分不必要条件得到是的充分不必要条件，再利用集合间的包含关系进行求解.【小问1详解】解：当时，可化为，解得；由，得，即，若、同为真命题，则，解得，即实数的取值范围为.【小问2详解】解：当时，可化为，解得；则：，：；因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，则且，即，即实数的取值范围为.18.已知函数在处取得极大值1（1）求在处的切线方程；（2）判断的零点个数，并说明理由.【答案】（1）（2）函数有三个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）求出函数的单调区间和极值，数形结合即可判断零点个数.【小问1详解】，则， 由题意可得，解得，即，，令，解得或，故在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，即符合题意.因为，则切点坐标为，切线斜率，所以函数的图象在x=1处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）得，令，得或，由，得或，由，得，所以在和上递增，在上递减，又，如图由图象可知，函数有三个零点.19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.（1）求曲线的极坐标方程及点的极坐标；（2）若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由代入可得答案；（2）令求出，再由可得答案.【小问1详解】由消去参数，得，即，由代入可得曲线的极坐标方程为.令，则，故点的极坐标为；【小问2详解】令，则，故的面积.20.已知．（1）若，解不等式；（2）当时，的最小值为3，若正数m，n满足，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对的取值进行分类，分段求解不等式，再求并集即可；（2）根据绝对值三角不等式求出，再利用柯西不等式证明即可求得结果.【小问1详解】当时，不等式为，当时，可以化为，解得； 当时，可以化为，得，不等式不成立；当时，可以化为，解得；综上,可得不等式的解集为.【小问2详解】当时，当时等号成立，由可得（舍）或，故,由柯西不等式可得，即得当且仅当时，即时取等号．21.设函数.（1）作出函数图象，并求的值域；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见详解，.（2）【解析】【分析】（1）将函数绝对值打开得到分段函数，再作出函数的图象；（2）结合函数与的图象得出结果.【小问1详解】 已知，则则的图象如图所示：由的图象可知的值域为.【小问2详解】由，解得,或,由，解得.，如下图，若存在，使得不等式成立，则由图象可知，，解得求实数的取值范围.22.已知函数.（1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，利用导数符号与函数单调性的关系可得出函数的单调性；（2）对实数的取值进行分类讨论，在时，利用（1）中的结论验证即可；在或时，由可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，利用单调性可验证在上不恒成立，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，则．令，其中，则，则在上单调递减．故当时，，所以在上单调递减．【小问2详解】解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，此时，，则当时，，满足题意；由，化简可得， 令，其中，则．当时，若，则，在上是减函数，所以当时，，不符合题意．当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．综上所述，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．