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甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题(Word版附答案)
甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题(Word版附答案)
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兰州一中2022-2023-2学期期中考试试题高二数学说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在空间直角坐标系O-xyz中,点关于xoz平面对称的点的坐标为( )A.B.C.D.2.在空间四边形中,,,,点M在上,且,N为的中点,则( )A.B.C.D.3.已知,则之间的大小关系为( )A.B.C.D.4.已知一个圆柱形空杯,其底面直径为,高为,现向杯中注入溶液,已知注入溶液的体积(单位:)关于时间(单位:)的函数为,不考虑注液过程中溶液的流失,则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为( )A.B.C.D.5.设函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6.平面α内有五点A,B,C,D,E,其中无三点共线,O为空间一点,满足,,则x+3y等于( ) A.B.C.D.7.如图,在正三棱锥D-ABC中,,,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且,若平面PBC,则实数( )A.B.C.D.8.若函数有两个零点,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二.多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对得5分,有漏选得3分,有错选得0分)9.下列求导运算正确的有( )A.B.C.D.10.设是空间一个基底,则下列选项中正确的是( )A.,,一定能构成空间的一个基底B.若,,则C.对空间中的任一向量,总存在有序实数组,使D.存在有序实数对,使得11.关于函数,则下面四个命题中正确的是( )A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数没有最小值D.函数的极小值为12.已知函数是奇函数,对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题)三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,且,则________.14.直线l的方向向量为,且l过点,则点到l的距离为__________.15.已知函数,若,则实数的取值范围是_________.16.若关于x的不等式对任意恒成立,则实数a的最小值是_____________.四.解答题(本大题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在四棱锥中,平面,正方形的边长为,设为侧棱的中点.(1)求正四棱锥的体积;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函数.(1)求函数的极值及相应的的值;(2)过点做曲线y=的切线,求切线方程.19.(12分)四棱锥的底面是边长为2的菱形,,对角线AC与BD相交于点O,底面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点. (1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值;(2)证明:平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.20.(12分)如图,在半径为4m的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱的体积为V.(1)求出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?最大体积是多少?21.(12分)在四棱锥中,底面,底面是边长为2的菱形,,是的中点.(1)求证:平面平面;(2)直线与平面所成角为,求二面角的余弦值. 22.(12分)已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围;(2),求实数的取值范围. 兰州一中2022-2023-2学期期中考试高二数学参考答案一、单项选择题(每小题5分,共40分)题号12345678答案CABBCBDA二、多项选择题(共20分,全部选对得5分,有漏选得3分,有错选得0分)题号9101112答案BCACBCDCD三、填空题:(每小题5分,共20分)13.14.15.16.四.简答题17.【详解】(1)设,则是的中点,连接,由于是的中点,所以,,由于平面,所以平面,所以.(2)依题意可知两两相互垂直,以为原点建立如图所示空间直角坐标系,,,设平面的法向量为,则,故可设,设直线与平面所成角为,则.18.【详解】(1)定义域为,令,解得或-13 +0-0+单调递增单调递减-8单调递增∴时,有极大值,时,有极小值-8.(2)设切点为,斜率为,∴切线方程为,又∵过点∴∴∴或∴切点为或,切线方程为或19.【详解】(1)由题意,两两互相垂直,以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,菱形中,,所以,在中,因为底面ABCD,所以PB与底面ABCD所成的角为,所以,则点A、B、D、P的坐标分别是,E是PB的中点,则,于是,.设的夹角为θ,则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.(2)连接,分别是的中点,,平面PAD,平面PAD,平面PAD.因为,,设平面PAD的法向量,则,令,则,所以,又,则点E到平面PAD的距离. 20.(1),定义域为;(2)当时,圆柱形罐子的体积V最大,最大体积是【详解】(1)在中,因为,所以,设圆柱的底面半径为r,则,即,所以,定义域为(2)由(1)得,,,令,则,解得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.当时,圆柱形罐子的体积V最大,最大体积是21.【详解】(1)证明:连接,,,是等边三角形,又是的中点,,平面,平面,,又,平面,平面,又平面,平面平面.(2)解:平面,为与平面所成的角,即,又平面,所以,是边长为的等边三角形,,,以为原点,建立空间直角坐标系如图所示:则,,,,,设平面的法向量为,则,即,令可得, 平面,故为平面的一个法向量,,显然二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.22.【详解】(1)由可得,因为函数有两个极值点,故是即的两个正根,则,即,即实数的取值范围为.(2)由(1)可知,,,由于,故,设,故在上单调递增,故由可得,即实数的取值范围为.
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