湖北省黄冈市外国语学校2022-2023学年高一数学下学期期中联考模拟试题（Word版附答案）

绝密★启用前黄冈外国语学校（湖北省黄州中学）2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考难度适应性模拟高一数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合亘࢔ʘ롘ʘ，亘࢔ʘ，亘࢔ʘ，则亘()A.或롘B.或롘C.或롘D.或롘或2.已知复数亘ݏݏܿ，则“亘香䁞䁞”是“为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若集合亘࢔ʘ香，亘࢔香ʘʹ，则“亘롘”是“亘࢔ʹ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若角为三角形角的一个内角，且ݏܿ亘，则这个三角形的形状为香()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形5.鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意ʹ롘ʹ年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重롘香Ǥ䁞ͺ，口长香，口宽ʹ，连耳高롘롘， 厚，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身足的高度之比约为롘：Ǥ：Ǥ据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是()A.香롘B.香Ǥ롘C.香Ǥ롘D.롘香Ǥ롘6.已知向量，，其中亘롘，亘，，亘，则亘()A.롘B.ǤC.D.香7.已知函数亘ݏʘʘ的部分图象如图所示，香ͺ亘ܿ的图象的对称轴方程可以是()A.亘B.亘C.亘D.亘香ǤǤ香香8.在角中，角，，角所对的边分别是，，，若香香亘香，角亘Ǥ，则角的面积等于()A.롘B.Ǥ롘C.ǤD.香롘二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下面关于롘香ݏݏ的表述正确的是()A.点롘ʘ香与点ʘ之间的距离B.点롘ʘ香与点ʘ之间的距离C.点香ʘ到原点的距离D.坐标为香ʘ的向量的模10.函数亘ݏʘʘ的香部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.亘롘B.函数在区间ʘ上是单调递增的롘香C.若亘，则ܿ香亘香香香D.亘是函数图象的一条对称轴11.给出下列命题，其中正确的是() A.幂函数亘图象一定不过第四象限B.函数亘香ʘ的图象过定点ʘC.亘lg是奇函数D.函数亘香香有两个零点12.已知函数是定义在上的奇函数，且亘当时，亘롘，则()A.是周期为香的周期函数B.的值域为香ʘ香C.亘롘是图象的一条对称轴D.的图象关于点香ʘ对称第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在区间上随机地选择一个数，则使函数有最小值的概率为．14.已知向量，的夹角为香，且亘，亘香，则向量在向量方向上的投影是．15.若亘香롘，则香亘______．tanܿ香16.在边长为롘的等边三角形角中，角亘香，则角等于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分计算：logǤlog롘香log香ܿͺ롘；롘롘ʹ롘롘香香香香香香롘롘．Ǥ롘18.本小题香分已知函数亘其中，为常数且，的图象经过点ʘ，롘ʘ香Ǥ．求的解析式；香若不等式上恒成立，求实数的取值范围．19.本小题香分香香己知椭圆香香亘的上、下顶点分别为、，已知点在直线：亘一롘上，且椭圆的离心率亘．香Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点直线交直线，于点角，为线段角的中点，求的值．20.本小题香分在亘香，亘ܿ，角亘这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并香롘对其进行求解．问题：在角中，内角，，角的对边分别为，，，面积为，롘ܿ亘ܿ角ܿ，亘，_____，求的值．21.本小题香分如图，是的直径，角，为上的点，角是的角平分线，过点角作角交的延长线于点，角，垂足为点．求证：角是的切线；香求证：亘．22.本小题香分已知函数亘，且香亘．香求的值；香试判断函数在ʘ上的单调性，并给予证明；롘求函数在롘ʘ的最大值和最小值． 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，熟练掌握交集的定义是解题的关键．由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【解答】解：集合亘࢔ʘ롘ʘ，亘࢔ʘ，且亘࢔ʘ，亘롘或亘，解得：亘롘或亘或亘，由元素的互异性得亘不合题意，舍去，则亘롘或．故选：．2.【答案】【解析】解：若亘香䁞䁞，则亘ݏ香䁞ݏܿ香䁞亘ݏ，故是纯虚数，是充分条件，反之，若是纯虚数，则不一定是香䁞，比如䁞亘也可，香不是必要条件，故选：．根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查纯虚数的定义，是一道基础题．3.【答案】【解析】解：由亘࢔ʹ，可得香亘ʹ，解得亘롘．亘롘是“亘࢔ʹ”的充分不必要条件，故选：．由亘࢔ʹ，可得香亘ʹ，解得，即可判断出结论．本题考查了集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的形状的判断，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．直接利用两角和的正弦函数，化简等式的左侧，利用角的范围判断即可．【解答】解：角为三角形角的一个内角，ݏܿ亘香sin，Ǥ롘如果ʘ，ʘʘ香sinʘ香；香ǤǤǤǤ롘ʘ，ʘ，香sinʘ．香ǤǤǤǤݏܿ亘，香是钝角，三角形是钝角三角形．故选：．5.【答案】角Ǥ롘롘【解析】解：由题意可知鼎的器腹容积约为香香ʹ香롘ǤǤǤ香롘亘香香香롘，与选项C，最贴近，故选：角．根据题中的条件，将鼎的长、宽、高表示出来，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为香亘亘香香香亘롘香香롘ܿ亘롘，所以亘롘．故选：．利用向量的模的运算法则，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．7.【答案】【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．根据图象求出，和，即可求函数的解析式，即可得ͺ的解析式，从而求解对称轴方程，可得答案．【解答】解：由函数的图象可得，亘香，设函数的最小正周期为，则有亘亘，解得亘，香香香香所以亘亘香，롘又因为函数的图象过点ʘ香，香롘롘所以亘香sin香亘香，香香롘则有亘香䁞，䁞，香即亘香䁞，䁞，롘又因为，所以亘，香롘所以亘香sin香，롘又因为函数图象过点ʘ香，롘롘롘且ʘ，即ʘ，香Ǥ香香所以有亘香sin香亘香，롘香即sin香亘，롘香롘则有香亘香或香，，롘ǤǤ即亘或，，香Ǥ香Ǥ롘香롘又因为ʘ，所以亘，香香Ǥ香롘所以ͺ亘cos亘香cos香，香Ǥ香롘令香亘，，香Ǥ香Ǥ香롘解得亘，，Ǥ香Ǥ香롘所以函数ͺ的图象的对称轴方程为亘，，Ǥ综合四个选项可知，只有项符合题意。故选B．8.【答案】【解析】 【分析】本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积．着重考查了正余弦定理、向量数量积公式和三角形面积公式等知识，属于中档题．香香香由余弦定理，算出ܿ亘亘，从而得到亘根据向量数量积的公式，结合角香香롘亘Ǥ算出亘再利用正弦定理的面积公式，即可算出角的面积．【解答】解：角中，香香亘香，香香香香香香亘，可得ܿ亘亘，香香结合为三角形内角，可得亘롘角亘Ǥ，ܿ亘Ǥ，得亘因此，角的面积亘ݏ亘ݏ亘香롘香香故选D．9.【答案】角【解析】解：设亘롘香ݏ，香亘ݏ，则，香在复平面表示的点分别为롘ʘ香，ʘ，所以롘香ݏݏ亘롘香香香是点롘ʘ香与点ʘ之间的距离．故选项A正确，选项B错误；롘香ݏݏ亘롘香香香亘香香香亘香香香，故选项C正确；设亘香ʘ，则亘香香香亘香香香，故选项D正确．故选：角．可先将롘香ݏ和ݏ与复平面内的点一一对应，再利用复数的模长公式进行计算，再逐一判断四个选项即可．本题考查了复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】角롘【解析】解：由图知，亘香，亘롘，即香ݏ亘롘，ݏ亘，香又，亘．香롘由五点作图法可得亘，亘香，故A错误；롘롘亘香ݏ香롘ʘ时，香ʘʘ，롘香롘롘香香香 所以函数在区间ʘ上是单调递增的，故B正确；롘香若亘，则香ݏ亘，所以ܿ亘，香香香롘香Ǥ所以ܿ香亘香ܿ亘香亘，故C正确；亘时，亘香ݏ香亘，不是最值，롘故亘不是函数图象的对称轴，故D错误．故选：角．由函数的最值可求得，由亘롘可求得，再由五点作图法可求得，从而可求得的解析式，再由三角函数的性质逐一判定即可．本题考查由亘ݏ的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象及单调性、对称性等性质，属于中档题．11.【答案】角【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质．根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可．【解答】解：根据幂函数的性质，可知幂函数亘图象一定不过第四象限，故A对；函数亘香ʘ，令亘，可得亘，代入可得亘，图象过定点ʘ，故B对；角令亘亘lg，定义域为ʘ，因为亘lg亘lg亘lg亘，且的定义域关于原点对称，所以是奇函数，故C对；函数亘香香的零点可以看成函数亘香与亘香的交点问题，易知两个函数图象有两个交点，即亘香香有两个零点，故D对；故选：角．12.【答案】角【解析】解：因为是定义在上的奇函数，所以亘，又亘，所以亘亘，所以亘香， 故亘Ǥ，所以是周期为Ǥ的周期函数，故选项A错误；由题意可知，的图象如图所示，由的图象可得的值域为香ʘ香，其中亘롘是函数图象的一条对称轴，的图象关于点香ʘ对称，故选项B，角，D正确．故选：角．利用函数的奇偶性以及已知的恒等式，变形可得亘Ǥ，从而得到的周期，即可判断选项A，然后作出函数的图象，由图象判断选项B，角，即可．本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性以及周期性、对称性的理解和应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，即根据几何概率公式：，故答案为：．롘14.【答案】香【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的定义与向量投影的应用问题，是基础题，根据平面向量数量积与向量投影的定义，计算即可．【解答】解：则向量在向量方向上的投影为：cos，亘香亘香ܿ香Ǥ亘香롘亘，香롘故答案为．香15.【答案】香롘ݏ香香ݏܿ【解析】解：ܿ香香亘ܿ香亘cos香sin香ݏܿ香ݏܿ亘亘亘亘香롘cossincossincossintan故答案为：香롘首先进行化切为弦，通分整理，分子和分母用二倍角公式并且都进行因式分解，约分以后，分子分母再同除以角的余弦，完成把弦化切的过程，得到结果．本题考查三角函数的化简求值，本题解题的关键是看出弦切互化，利用同角的三角函数的关系来完成简化的目的，本题是一个中档题目．16.【答案】롘【解析】解：由题意可得ʘ角亘，亘롘，角亘香，롘角亘角cosʘ角亘롘香亘롘，香故选C．由题意可得ʘ角亘，亘롘，角亘香，利用两个向量的数量积的定义求出角롘的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得ʘ角亘，亘롘，角亘香，是解题롘的关键，属于中档题． 17.【答案】解：原式亘ܿͺǤ롘香ܿͺʹ亘香ʹ亘；롘ʹ롘ʹʹ香原式亘亘．香ǤǤ香【解析】本题考查了对数和指数的运算，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．根据对数的运算法则求解即可；香根据指数的运算法则求解即可．亘18.【答案】解：根据题意可得롘，亘香Ǥ亘香，亘롘，亘롘香；香香设ͺ亘亘，则亘ͺ在上为减函数．롘香当时ͺݏ亘ͺ亘，롘香在ʘ上恒成立，ͺݏ香，香香，롘的取值范围为：．【解析】将点的坐标，代入函数解析式，即可求得的解析式；香香在香求出ͺ亘亘在ʘ上的最小值，不等式롘ʘ上恒成立，转化为ͺݏ香，从而可求实数的取值范围．香香19.【答案】解：Ⅰ香香亘且点在直线：亘一上，亘，又亘롘，香香香亘亘亘香香亘Ǥ，香椭圆的标准方程为香亘；Ǥ香Ⅱ设ʘ，，则ʘ，且香亘，Ǥ为线段的中点，ʘ，香香ʘ，直线的方程为：亘， 令亘，得角ʘ，ʘ，为线段角的中点，ʘ，香亘香香ʘ，亘ʘ，香亘香香香香香亘香ǤǤ香香亘香ǤǤ亘亘롘【解析】Ⅰ通过点在直线：亘一上，得亘，再根据亘亘及、与之香香香间的关系，易得亘Ǥ，从而可得椭圆的标准方程香亘；ǤⅡ设ʘ，，则点满足椭圆方程，根据题意，易得香ʘ、香ʘ，计算即可本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．20.【答案】解：在角中，因为롘ܿ亘ܿ角ܿ，所以根据正弦定理得롘ݏܿ亘ݏܿ角ݏ角ܿ，所以롘ݏܿ亘ݏ，因为ݏ，롘所以ܿ亘，롘选择，由余弦定理香亘香香香ܿ，得香香롘亘，롘롘解得亘롘亘舍去，롘选择，亘ܿ亘ݏ，香香所以ܿ亘ݏ亘cos香所以亘，即角亘，香香롘则cos亘亘亘，롘解得亘롘，롘选择，角亘，因为ݏ亘sin亘ݏܿܿݏ亘，롘롘롘롘ݏ角所以由亘，得亘亘롘롘롘香．ݏ角ݏݏ 【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．롘根据正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合ݏ，可得ܿ亘．롘选择，由余弦定理得香香롘亘，即可解得的值．롘选择，利用三角形的面积公式化简已知等式可得ܿ亘ݏ亘cos，可求角的值，香即可求的值．选择，由已知利用两角和的正弦公式可求ݏ的值，进而根据正弦定理可求的值．21.【答案】证明：连接角，亘角角亘角，角是的角平分线，角亘角角亘角，角롘分角，角角，即角是的切线．分香连接角，在角中，角，角香亘．又角是的切线，角香亘．角亘角，亘角，角亘角角≌角，角亘角，亘分【解析】证明角是的切线，就是要证明角角，根据角，我们只要证明角；香首先，我们可以利用射影定理得到角香亘，再利用切割线定理得到角香亘，根据证明的结论，只要证明角亘角．几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．22.【答案】解：把香亘代入亘得亘，解得亘，故的值为；香香香香亘在ʘ上是减函数．香证明：设任意两数，香，且香，香香则香亘亘，香香香香香香香，香香，香香香， 香香香，香，香香函数亘在ʘ上是减函数；香롘由香可知函数亘在롘ʘ上是减函数，香的最小值为亘，最大值为롘亘．【解析】把香亘代入亘求得值即可；香香根据单调性定义证明即可；롘结合函数单调性可求得函数在롘ʘ的最大值和最小值．本题考查函数解析式求法、函数单调性定义及函数值域，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．