湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试卷（Word版附答案）

2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷考试时间：2023年4月12日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，若，则（）A．0B．1C．0或1D．22．若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）A．－1B．－iC．iD．13．“”是“函数为偶函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．下列各式中，其值为的是（）A．B．C．D．5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间的关系为，若要使牛奶保鲜时长超过96h，则应储藏在温度低于___℃的环境中．（附：，，答案采取四舍五入精确到0.1）（）A．10.0B．10.3C．10.5D．10.76．已知向量，，则下列说法错误的是（）A．若，则B．C．若，则D．若与的夹角为钝角，则7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图 象．若在上单调递增，则m的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知△ABC满足，，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，，则下列结论中错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，，则下列叙述正确的是（）A．筒车转动的角速度B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒11．已知函数，下列说法正确的是（） A．若定义域为R，则B．若值域为R，则C．若最小值为0，则D．若最大值为2，则12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则的值为．14．已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是．15．在△ABC中，，，则．16．在△OAB中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当，时，将函数解析式化为的形式；（Ⅱ）若当时，成立，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分） 在△ABC中，已知，，角A的平分线AD与BC交于点D且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若___，求．①，②，③，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20．（本小题满分12分）设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，．（Ⅰ）若，求B；（Ⅱ）求的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．（Ⅰ）求两座高塔底部A，B之间的距离；（Ⅱ）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？22．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求值：；（Ⅱ）判断函数的单调性，并证明你的结论：（Ⅲ）求证有且仅有两个零点，，并求的值． 2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案一、单选题（每题5分，共40分）12345678CCADADDB二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，有错选的得零分）9101112BDABDBCDABD11．【详解】对于A，若函数定义域为R，则恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，则有，解得：，综上，实数a的取值范围为：，故选项A错误；对于B，若函数值域为R，则取尽大于零的所有实数，当时，，不满足题意；当时，则有，解得：a≥2，所以若值域为R，则a≥2，故选项B正确；对于C，若函数最小值为0，则有最小值1，由二次函数的图象和性质可得：，解得：a＝1，故选项C正确；对于D，若函数最大值为2，则有最大值4，由二次函数的图象和性质可得：，解得：，故选项D正确；故选：BCD．12．【详解】由题意知函数，的定义域均为R，∵的图象关于直线x＝2对称，则，∵，∴，∴，故为偶函数， 由，得，代入，得，令，则，∴，则，故B正确，C错误；因为，令，则，即，A正确；由，故，故由得，∴，故．所以是以4为周期的周期函数，由，，令，则，得，则，又，令得，得，又，故，D正确．故选：ABD．三、填空题（每题5分，共20分）13．514．15．或16．16．【详解】如图：由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得，由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得 ，所以，解得，所以，因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得，所以，所以，所以，当且仅当，时，取等号．故答案为：四、解答题（共70分，第17题10分，其余各12分）17．解：（Ⅰ） （Ⅱ）原式．18．解：（Ⅰ）当，时，．∴；（Ⅱ）恒成立①当时，由（Ⅰ）知∵，∴当即时，；②当时，．综上可知，．依题意得，解得，即为所求．19．解：（Ⅰ）法一：由角平分线定理∵AD平分角A，∴，∴，∴，∴，∴，解得；法二：由即： ∴∴（Ⅱ）由及，得．如图，建立平面直角坐标系xAy，则，，．选①，则重心，，选②，由外心P在直线上，可设，由，得，解得由，得，解得，∴，，所以．选③，由垂心P在直线上，可设， 则，，由，得，∴，∴，，所以．20．解：（Ⅰ）由题意．又根据正弦定理，有，，，由，有，得，因为A，，所以，∴．（Ⅱ）由（1）知，，所以， 因为，即，所以，则，，有，所以，所以的取值范围为．21．解：（Ⅰ）由题知，AD⊥AB，BC⊥AB，BC＝60，AD＝30，如图，作DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以BE＝30，CE＝45．设，，，则， ，解得，所以两座高塔底部A，B之间的距离为90m．（Ⅱ）设AP＝t（0≤t≤60），则．所以，，所以设（60≤m≤150），则，所以，当且仅当即时，等号成立．又因为在锐角范围内，越大，ÐDPC越大，所以当时，ÐDPC取得最大值，此时．所以在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．22．解：（Ⅰ）当，且时，∴（Ⅱ）函数的定义域为，在和上单调递增，证明如下： 设，，则①当时，，∴，于是，∴在上单调递增；②当时，同理可得，∴在上单调递增；（Ⅲ）由于在上单调递增，且，，∴在上有且仅有一个零点；由于在上单调递增，且，，∴在上有且仅有一个零点．因此有且仅有两个零点，．由（Ⅰ）知，又∵，∴，∴是在上的零点，∴．