广东省广州市普通高中2022-2023学年高三数学下学期第二次综合测试（二模）试卷（Word版附解析）

秘密★启用前试卷类型：B2023年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为实数，且，则（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得出，计算即可得解．【详解】由题意得，，故选：C．2.已知集合，，则集合的元素个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为，，则，故集合的元素个数为.故选：B.3.已知两个非零向量，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，，故选:D.4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．【详解】由，，，则，，又，，则，即，所以．故选：D． 5.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,进而可得取的中点为，过的中点作，连接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，故选：A 6.已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.故选：A7.已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（）A.（）B.（）C.（）D.（）【答案】D【解析】【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】因为恒成立， 所以，即，所以或，所以或，当时，，则，与题意矛盾，当时，，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D8.已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出 ，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为【答案】BC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D． 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D错误．故选：BC．10.已知函数定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由是偶函数及图像可得出结论.【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示： 要使值域为，且，,则，；，；，.故选：ACD.11.已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若轴，则的周长为B.若直线交双曲线的左支于点，则C.面积的最小值为D.的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.【详解】双曲线的标准方程为，则，易知点、，双曲线的渐近线方程为.对于A选项，当轴，直线的方程为， 联立，可得，此时，，则，此时，的周长为，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，所以，，即，B对；对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，，可得，联立可得，即点，联立可得，，即点，所以，，，所以，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，， 当时，，当时，，因为函数在上单调递减，此时，当时，因为函数在上单调递减，此时，综上所述，的取值范围是，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围12.已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（）A.若取得最小值，则B.若，则平面C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为D.直线到平面的距离为【答案】BCD【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可．【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，则，，，因为点，分别为和重心，所以点的坐标为，点的坐标为所以设，则，所以，所以，，对于Ａ：因为， ，所以，当时，即，，取得最小值，故A错误；对于B：若，则，所以，因为，，设平面的一个法向量为，则，取，则，因为，所以平面，即平面，故B正确；对于C：若平面，则，即，，即，设平面的一个法向量为，因为，，则，取，则，因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，又因为点为等边三角形的重心，所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，设三棱锥外接球的半径为， 则，即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确；对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，设平面的一个法向量为，因为，，所以，取，则，因为，且直线平面，所以直线平面，所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，则点到平面的距离，即直线到平面的距离为，故D正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.【答案】8【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为. 故答案为：814.已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出与的关系,可得的值.【详解】二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为3.故答案为：3（答案不唯一）15.在数列中，，，若，则正整数____________．【答案】10【解析】【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．【详解】由，，令，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．故答案为：10．16.在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________【答案】①.##0.5②. 【解析】【分析】作出平面区域并计算平面区域的面积；设，，显然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，令，对函数求导，得到单调性，可求出最值，即可求出的最小值.【详解】设，，当时，则，即，当时，则，即，当时，则，即当时，则，即，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：则.如下图，设，，显然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，，即，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，且，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设是数列的前n项和，已知，.（1）求，；（2）令，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.【小问1详解】由得即，即，又，所以，【小问2详解】当时，，当时，， 两式相加可得，得，由于，所以18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘 估计分别为：，.【答案】（1）（2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值【解析】【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【小问1详解】解：令，则关于的线性回归方程为，由题意可得，，则，所以，关于的回归方程为.【小问2详解】解：由可得，年利润，当时，年利润取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.19.记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求；（2）若点在边上，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.【小问1详解】解：因为，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.【小问2详解】解：因为，则为锐角，所以，，因为，所以，，所以，，设，则， 在和中，由正弦定理得，，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.20.如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出 ，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.【小问1详解】取中点，连接、，如图所示：，点是中点，，又是的中点，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面， 面平面.【小问2详解】由（1）知平面，则，设，则，，，，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，， 故直线与平面所成角的正弦值为.21.已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【小问1详解】设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得，所以C的方程为【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，联立，所以，设直线的倾斜角为，则所以，所以，由题意可知四边形为梯形，所以， 设，则，所以，当单调递增，当单调递减，所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为：，即或【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．必要时也可以利用导数求解最值.另外在解析几何中还要注意向量的应用.22.已知函数，.（1）当时，，求实数的取值范围；（2）已知，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出，在时，可得出，在时，，分析可知，综合可得出实数的取值范围；（2）由（1）变形可得，令，可得出，可得出，，证明出，可得出 ，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.【小问2详解】证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数上单调递增，故，则，所以，，，所以，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.