广东省广州市天河区2023届高三数学二模试题（Word版附解析）

2023届高三天河区二模数学模拟测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】由题可知：，所以．故选：B．2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，当，即时，满足，而无意义，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.若展开式的各项系数和为8，则（） A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】直接令计算可得答案.【详解】令得，解得故选：C.4.已知随机变量的分布列如下：12若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.【详解】由已知得解得故选：B.5.已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列式，由此求得的取值集合. 【详解】关于点对称，所以，所以①；，而在上单调，所以，②；由①②得的取值集合为.故选：C6.若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数在上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出.【详解】，由题意得：，故，关于原点对称，且，故为奇函数，则，A正确，D错误；故一定异号，所以，BC错误.故选：A7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.8.已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由恒成立，可得.注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可.【详解】因恒成立，则， 则，又，则的零点为，1.又函数零点为.①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意；②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意；③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意；④当时，在上有零点，1，在在上无零点，则不合题意.综上：.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（）A.是纯虚数B.对应的点位于第二象限C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.故选：AD. 10.下列等式能够成立的为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式及倍角公式逐一计算判断.【详解】对于A：，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：BC.11.已知圆：，则（）A.圆关于直线对称B.圆被直线截得的弦长为C.圆关于直线对称的圆为D.若点在圆上，则的最小值为5【答案】BCD【解析】【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D． 【详解】圆的一般方程为，，故圆心，半径为＝5，，则直线不过圆心，故A错误；点到直线的距离，则圆被直线截得的弦长为，故B正确；设圆关于直线对称的圆的圆心为，则，解得，即，故圆关于直线对称的圆的方程为，即，故C正确；表示与点的距离，又，的最小值是，故D正确．故选：BCD．12.如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（）A.直线可能与平面相交B.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值C.当时，与平面所成角最大 D.当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为【答案】BCD【解析】【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A；B.利用等体积转化，可判断B；C.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C；D.首先确定点的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.【详解】A.如图，，且平面，平面，所以平面，同理平面，且平面，平面，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故A错误；B.如图，过点作于点，于点，根据面面垂直的性质定理可知，平面，平面，，. 故B正确；C.因为平面，平面，所以，且，且，平面，平面，所以平面，且平面，所以，即，点是的中点，此时线段最短，又因为，且平面，平面，所以平面，即上任何一个点到平面的距离相等，设为，设与平面所成角为，，,当时，线段最短，所以此时最大，所以最大，故C正确；D.的周长为，为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，作，垂足为，，解得：，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ,，连结，平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则,即，解得：，，所以外接球的表面积，故D正确.附：证明平面，因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面,平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过的中心.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的图象在处的切线方程为____________ 【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求解作答.【详解】函数，求导得：，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为.故答案为：14.现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有__种．（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，则有种排法，故答案为：144．15.在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．【答案】①.②.【解析】【分析】先求出，，，，则 ，代入结合均值不等式即可求出答案.【详解】因为在等腰梯形中，已知，，，，可知，所以，，，，则.当且仅当，即时取等号，即最小值．故答案为：；.16.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则______． 【答案】##【解析】【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答.【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列是首项，公比为的等比数列，，，所以.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可； （2）将变形，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.【小问1详解】①，当时，②，①-②得，即，又当时，，解得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；【小问2详解】由（1）得，，因为，18.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若角的平分线交于且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简得到，根据正弦定理计算得到，得到角度.（2）设，，确定，计算 ，再利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】，即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；【小问2详解】，设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.19.在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，. （1）证明：平面EAC.（2）若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明详见解析（2）【解析】【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面EAC.（2）根据四棱锥的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线EC与平面PAB所成角的正弦值.【小问1详解】连接交于，连接，因为四边形是菱形，所以是的中点，又是的中点，所以，因为平面平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，连接，则，因为平面平面且交线为，平面，所以平面. 设，则，解得.因为底面是菱形，，所以，且.以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，故可设，则，所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为.20.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图． x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）参考数据：，，，，，，，，，，．【答案】（1）012P（2）（3）150元/天【解析】【分析】（1）根据图象得出的所有可能情况，利用超几何分布求得不同下的概率，进而列出分布列. （2）由散点图判断出更适模型的回归方程，分别求出和，求出回归方程.（3）写出100天销售额L的表达式，再根据导数求得最大值，即可得出收费标准.【小问1详解】由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.,，，∴的分布列为：012P【小问2详解】由散点图可知,散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，∵∴∴回归方程为：【小问3详解】由题意得，,在中当时，解得：，当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增，∴函数在处取最大值，∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.21.已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.（1）当，且为线段的中点时，证明：；（2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点,连接.利用几何法，分别证明出,为的角平分线，即可证明；（2）利用“设而不求法”分别表示出，解方程求出.【小问1详解】如图示：当时，恰为抛物线的焦点.由抛物线的定义可得：.取的中点,连接,则为梯形的中位线，所以. 因为为的中点,所以,所以.在中，由可得：.因为为梯形的中位线，所以，所以，所以.同理可证：.在梯形中，,所以，所以，所以,即.【小问2详解】假设存在实数，使得.由直线与抛物线交于，两点，可设.设,则，消去可得：，所以，.则.而.所以，解得：.22.已知定义在上的函数. （1）若，讨论的单调性；（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答.（2）当时，可得为任意正数，当时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.【小问1详解】函数，，求导得：，当时，，函数在上单调递增，当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.【小问2详解】因为，且当时，不等式恒成立，当时，，恒成立，因此，当时，， 令，原不等式等价于恒成立，而，即函数在上单调递增，因此，即，令，，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，综上得，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.