上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高三数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

复旦附中2023届高三年级3月份教学质量检测数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.第1-6题每题4分，第12题每题5分）1.已知集合，则___________．【答案】【解析】【分析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，.故.故答案为：2.已知i为虚数单位，则复数的虚部为___________．【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】故答案为：3.已知幂函数的图像过点，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.【详解】设幂函数为，由题意，，解得，所以幂函数解析式为，所以.故答案为： 4.已知，，则_______．【答案】【解析】【分析】计算得到，，利用换底公式计算得到答案.【详解】，故，，，.故答案为：5.已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数范围是_______.【答案】【解析】【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于的不等式，求解不等式，即可得到答案．【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，则且，解得.综上满足条件的实数的范围是.故答案为：【点睛】本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为.6.已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．【答案】##【解析】【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出的值， 从而计算出的值.【详解】因为，所以，则，由处的切线方程为，得切线的斜率为，所以，得，所以，当时，，所以切点为，将代入切线方程得：，解得，所以.故答案为：7.若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.【详解】，，即，，即，，，设，则在上有实数根，，在的图像有交点，如图 由于由图象可知，，即故答案为：8.在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是________．【答案】【解析】【分析】利用、、表示向量、，利用空间向量数量积计算出，即可得解.【详解】如下图所示：，， ，，，，，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值，方法如下：一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为.9.下列说法中正确的是______．①设随机变量X服从二项分布，则②已知随机变量X服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④，．【答案】①②③【解析】【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据期望与方差的性质判断④；【详解】解：对于①：随机变量服从二项分布，则 ，故①正确；对于②：随机变量服从正态分布且，则，故②正确；对于③：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，，所以，故③正确；对于④：，，故④错误．故答案为：①②③．10.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．【答案】##【解析】【分析】计算出，联立直线和抛物线得到与，结合求出，进而求出的面积.【详解】由题意可得，则，解得：，故直线方程为．联立整理．设，，则，．因为，所以，所以，则，解得:，从而，故的面积是 故答案为：．11.已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，，取倒化简可得，再利用裂项相消法即可得解.【详解】因为，，可得，则有，所以，所以，则，因为正整数k使得对任意的正整数成立，所以，所以整数k的最小值为.故答案为：.12.已知对任意的，均有，则的最小值为___________．【答案】 【解析】【分析】由题意，的图像始终在的上方或部分重合，结合图像可知，，进而得解．【详解】,如图，作出的图像，因，所以的图像始终在的上方或部分重合，所以时，，若，则存在,根据图象，不满足题意，因此从而，当且仅当时取等号.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B【解析】【详解】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系14.已知函数的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题首先根据诱导公式和二倍角的正弦公式，化简得出，再根据平移的左正右负的原则得到的解析式，最后得到的单调增区间.【详解】函数的图像关于点对称，，，，，，， 将函数向左平移单位的解析式是，令,，结合所给的选项，令，则的一个增区间为，故选：B.15.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A.B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.【详解】由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C16.已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（）A.1B.2C.3D.无数个【答案】A【解析】【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则，解得或，，解得或，得到，，再计算最值得到答案.【详解】，，当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.为函数的极小值，为函数的极大值，画出函数图像，如图所示：的值域为的子集，则，解得或；，解得或，，故且，，，， 当，，，故；当，，故，此时，不成立；当，，不成立；综上所述：，故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用，得到，，可以缩小范围，简化运算，是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【小问1详解】证明：连接交于点，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，所以，在中，为的中点，为的中点， 所以；又因为面，面，所以平面.【小问2详解】解：因为平面，为正方形，平面，所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，所以，，设平面的法向量为，所以，，即，令，则，，即，，设点P到平面MAC的距离为d，所以，所以，点到平面的距离为. 18.某学校为丰富学生的课外活动，计划在校园内增加宣外活动区域（如所示）已知教学楼用直线表示，且，ED是过道，A是之间的一定点路口，并且点A到的距离分别为2，6，B是直线上的动点，连接AB，过点A作．且使得AC交直线于C，点B，C均在DE的右侧，设（1）写出活动区域的面积S关于角的函数表达式，并写出定义域；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，求得，在中，求得，根据三角形的面积公式即可求解.（2）令，利用降次化一得到，根据正弦函数的性质可求得的取值范围，最终求得的范围，从而可解. 【小问1详解】依题意得：点A到的距离分别为2，6即在中，，，即，，，，在中，，即，即.【小问2详解】由（1）知，设，，，∴当，即时，函数的最小值. 19.携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其携号的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．（1）完成列联表：对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计（2）并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；（3）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；附：0.010.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.78910.828【答案】（1）表格见解析（2）有（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）分别求出对业务水平满意和对服务水平满意的人数，从而可得出列联表.（2）先求出计算得，对照附表参照值可得出答案.（3）由题意X的可能值为0，1，2，分别求出其概率，从而得出概率分布列，然后由公式可得出其数学期望.【小问1详解】有题意可得对业务水平满意的有人，对服务水平满意的有人，得列联表 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300【小问2详解】计算得，所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关．【小问3详解】X的可能值为0，1，2，所以X的分布列如下X012P则X的期望20.椭圆的焦点是一个等轴双曲线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为．（1）求椭圆与双曲线的标准方程；（2）点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；（3）过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记．若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）1；（3）是，【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得代入方程即可求解；（2）设点，利用斜率方程求得k1,k2,结合双曲线方程，即可求得k1k2；（3）法一：分两种情况讨论，当直线l的斜率为0，则，当直线l的斜率不为0，设直线方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，然后根据，联立方程即可出.法二：直接设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，根据向量关系求出的表达式，设，整理得，再整体代入即可.【小问1详解】设椭圆的右焦点为（c,0）（c>0），则,由题知，双曲线：,所以，即，因为的周长为，即，联立①②③得，，所以椭圆的方程为，双曲线的标准方程为【小问2详解】设双曲线上的点，，则．又【小问3详解】是；由题知直线l的斜率存在，法一：①当直线l的斜率为0时，，， ②当直线l的斜率不为0时，设其方程为，④解得，其中，且，，，由，所以点R在一条定直线上．法二：依题可知:直线的斜率存在,设其方程为，，所以,消元整理得,所以， 由得，所以，设，由得,所以，所以在定直线上.【点睛】方法点睛：本题采取设线法，然后联立椭圆方程得到韦达定理式，通过向量运算得到其横坐标表达式，再通过向量关系代换整理成韦达定理比值式，再将得到的韦达定理式整体代入运算即可得到该定直线方程．21.若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”．（1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；（2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；（3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“”【答案】（1）不是（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”；（2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”，为其“双切线”；（3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数 ，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立.【小问1详解】根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”，则存在两个不相等的实数，使得；由可知，；易知为单调递增函数，所以不存在两个不相等的实数，使得；即不是“双切函数”.【小问2详解】由可得；显然为偶函数，且在上为单调递增；所以必存在两个不相等的实数，使得，且；不妨设两切点分别为，易知函数奇函数，又；所以两切点关于原点对称；即此时切线斜率，即，解得或；即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”，此时，两点确定的直线方程即为“双切线”，由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”.故其“双切线”为.【小问3详解】充分性： 若是“双切函数”，则需存在两个不相等的实数，使得；令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点；所以不单调，又，即，可得，即；所以充分性成立；必要性：若可得方程有两个不相等的实数根，所以函数在定义域內不单调，即存在两个不相等的实数满足，也即，即函数上一定存在两点是“双切点”，即是“双切函数”，所以必要性成立.因此，“”是“双切函数”的充要条件是“”【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解.