上海市三校2022-2023学年高三数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2023届高三年级阶段测试数学试卷（三校联考试题）2023.03一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.【详解】,,解得，所以不等式的解集为.故答案为：2.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】直接根据题意列出不等式即可.【详解】由题意得，则定义域为，故答案为：.3.已知复数满足（为虚数单位），则______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由得，所以，故答案为:. 4.对于正实数，代数式的最小值为______．【答案】【解析】【分析】通过变形得，利用基本不等式即可求出最值.【详解】，，当且仅当，即（负舍）时等号成立，故答案为：5.5.已知角在第二象限，且则______．【答案】##【解析】【分析】根据诱导公式得，根据所在象限和同角三角函数关系则可得到，再利用二倍角正切公式即可得到答案.【详解】，即，则，角在第二象限，则，则，.故答案为：.6.已知随机变量服从正态分布，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据正态分布的特点即可得到答案.【详解】根据正态分布的对称性得， 故答案为：0.12.7.记为等比数列的前项和，若则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列通项的性质计算作答.【详解】等比数列的前项和为，设其公比为，由得：，因此，于是，所以.故答案为：528.在中，为的中点，若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，在中利用余弦定理求解作答.【详解】在中，，，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，解得，所以的长为2.故答案为：29.已知是双曲线与抛物线一个共同焦点，则的两条渐近线夹角的大小为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出双曲线及渐近线的方程，再求出渐近线夹角作答.【详解】抛物线焦点，依题意，，双曲线 的渐近线为，显然直线的倾斜角为，所以的两条渐近线夹角的大小为.故答案为：10.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【答案】【解析】【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．11.已知是的外心，且，则______．【答案】##【解析】【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得，，，再求出，，，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】，即，设，两边同平方得，解得，同理可得，，，，则， ，，.故答案为：.12.已知关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为______．【答案】或【解析】【分析】本题采用分离参数法得，利用导数研究函数在其定义域上的图象，通过直线与函数图象交点个数解决方程根的问题.【详解】当时，显然不是方程的根，，即，即，设，，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，则研究的图象，，则，令，解得，则此时单调递减，令，解得，则此时单调递增，故，且当并趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，再结合为奇函数，作出如下图象， ，则，，同理图像左侧，，解得.则关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．13.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误.故选：B14.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依据复数模的定义即可求得之间的关系.【详解】z在复平面内对应的点为，则复数，则，由复数的模长公式可得，故选：C．15.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，, 点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．16.设（其中），若点为函数图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（）A.函数的图象对称轴方程为；B.函数的图像关于坐标原点对称；C.函数在区间上是严格增函数；D.若函数在区间内有个零点，则它在此区间内有且有个极小值点．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点B，C的坐标，进而求出函数的解析式，再逐项判断作答.【详解】在中，令得，依题意，点，同理得点，由得：，解得，又，则 ，而，因此，，由得，即函数的图象对称轴方程为，A错误；因为，所以函数的图像关于坐标原点不对称，B错误；当时，，而正弦函数在上不单调，所以函数在区间上不单调，C错误；当时，，依题意，，又正弦函数在内各有1个极小值点，在内无极小值点，所以函数在区间内有且有个极小值点，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知四棱锥的底面为矩形，底面，且，设、、分别为、、的中点，为的中点，如图．（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角正弦值.【小问1详解】证明：、、分别为、、的中点，，，平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，平面平面，平面，平面.【小问2详解】解：平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，，，，设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.18.记，为数列的前n项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.【小问1详解】解：已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，，，． 当n为偶数时，；当n奇数时，．综上所述，.19.社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：大学A大学B大学C大学D大学2023年毕业生人数（千人）76542023年毕业生中参加过社会实践人数千人）0.50.40.30.2（1）已知与具有较强的线性相关性，求关于的线性回归方程；（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放万元的补贴．①若该省大学2023年毕业生人数为万人，估计该省要发放补贴的总金额；②若2023年毕业生中小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围．参考公式：【答案】（1）；（2）①万元；②.【解析】【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算即可作答.（2）①利用（1）的结论估计补贴的总金额；②求出两个人参加实践活动的概率分布并求出期望，再利用期望的性质及已知列不等式，即可求解作答. 【小问1详解】由数表知，，，，，，因此，所以关于的线性回归方程是.【小问2详解】①由（1）知，当千人时，（千人）所以该省要发放补贴的总金额约为：万元；②小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，，，，，因此，解得，而，即，于是，所以的取值范围是.20.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，已知，求直线的方程；（3）点为椭圆上任意一点，过点作的切线与圆交于两点，设直线的斜率分别为．证明：为定值，并求该定值．【答案】（1）； （2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点坐标得到关于的方程组，解出即可；（2）设直线，根据向量共线关系得到联立直线与椭圆方程得到韦达定理式，结合即可解出值，则得到直线方程；（3）首先考虑直线的斜率不存在时的情况，设直线,联立椭圆得到，根据相切关系得，化简得，再将直线与圆联立得到韦达定理式，代入两直线斜率乘积表达式化简即可得到其为定值.【小问1详解】由题意得，，；联立解得，则【小问2详解】直线与斜率不存在不合题意，设直线，设则，，则， 则，解得，则直线的方程【小问3详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，若,则易得，则，若,则,,则.当直线斜率存在时,设直线,设，直线与椭圆联立得，由直线与椭圆相切,则，化简得:，直线与圆联立:,得:，，而的斜率分别为,则，将代入得，将代入得， 综上:为定值,该定值为.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处取得极小值，求的值；（3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．（3）．【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由求得值，并验证此时是极小值点；（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】，，又，∴切线方程为；【小问2详解】由（1），函数在处取得极小值，则，即，，设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值， 因此在附近是递增的，又，所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；所以．【小问3详解】，，当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，综上，的取值范围是．【点睛】易错点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值，不等式恒成立问题．在已知极值点求参数值时，是极小值点，在由求得参数后，一般需验证此时是极小值点，否则容易会出现错误．原因时，不一定是极值点，当值也可能不是极小值点．