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上海市嘉定区2022-2023学年高三数学下学期2月调研试题(Word版附解析)
上海市嘉定区2022-2023学年高三数学下学期2月调研试题(Word版附解析)
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嘉定区高三数学调研试卷2023.02一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)1.已知全集,集合,则________.【答案】【解析】【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】解:因为全集,集合,所以.故答案为:2.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法,即可得到结果.【详解】因为,即,解得,所以不等式的解集为故答案为:3.某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为________.【答案】1【解析】【分析】设圆柱底面半径为,高为,求出底面积的侧面积,即可得结论.【详解】设圆柱底面半径为,高为,由题意,所以,即.故答案为:1.4.直线与直线的夹角的正弦值为______.【答案】##【解析】 【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值,设两直线夹角为,则,再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】设斜率为,由得,设的斜率为,由得,设两直线夹角为,,则,又且,解得或(舍去).故答案为:5.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式商品盒子.已知某盲盒产品共有两种不同玩偶,抽到的概率都是,小明若一次购买2个盲盒,则他能集齐两种玩偶的概率是______.【答案】##0.25【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生概率公式计算.【详解】由题意,抽到两种不同玩偶为相互独立事件,所以他能集齐两种玩偶的概率,故答案为:6.已知、,设点、在平面上的射影分别为、,则向量的坐标为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得、,进而得解.【详解】点、在平面上的射影分别为、,∴向量的坐标为.故答案为:.7.已知的二项展开式中的第9项是7920,则实数为__. 【答案】【解析】【分析】根据二项式定理确定开式中的第9项是,再由,即可求得实数的值.【详解】解:展开式中的第9项是,解得,又,所以.故答案为:.8.已知向量,,且,则t=____.【答案】【解析】【分析】由可得:,进而计算求解.【详解】因为,所以,则有,又,,所以,解得:,故答案为:.9.已知,实数,,函数的部分图像如图所示,若该函数的最小正零点是,则______.【答案】2【解析】【分析】根据函数图象得到,再根据该函数最小正零点是,由求解. 【详解】解:由图象知:,因为该函数的最小正零点是,所以,则,即.故答案为:210.数列是公比为的等比数列,为其前项和.已知,,给出下列四个结论:①;②若存在使得的乘积最大,则的一个可能值是;③若存在使得的乘积最大,则的一个可能值是;④若存在使得的乘积最小,则的值只能是.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②③【解析】【分析】求出数列的通项公式,求得前项乘积,确定积的最大值和最小值,即可得.【详解】由题意,,若,则,所以,,,无实解,若,则,,,又,所以,①正确,,,,,,,,,因此,又时,,所以时,,,,,,, ,所以或时,取得最大值,或时,取得最小值,因此②③正确,④错误,故答案为:①②③.11.如图,直三棱柱中,⊥,,,点P在棱上,且,当的面积取最小值时,三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】先设出BP=x,,利用求出,结合基本不等式求出时,面积取得最小值,补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球,求出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得:,设BP=x,,则,,,由得:,解得:,因为,故由基本不等式得:,当且仅当,即时,等号成立,将三棱锥补形为长方体,则三棱锥的外接球即该长方体的外接球, 其中长方体的外接球的直径为,故半径为,故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:12.定义两个点集S、T之间的距离集为,其中表示两点P、Q之间的距离,已知k、,,,若,则t的值为______.【答案】【解析】【分析】集合表示双曲线上支的点,集合表示直线上的点,,故直线与渐近线平行,在渐近线下方,即,且与渐近线的距离为,计算得到答案.【详解】,即,,故集合表示双曲线上支的点,集合表示直线上的点,,故直线与渐近线平行,在渐近线下方,即,且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为,不妨取,则,即,平行线的距离,故或(舍去).故答案为:.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义,直线和双曲线的位置关系,意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力,其中根据条件得到直线与渐近线平行,在渐近线下方,且与渐近线的距离为是解题的关键.二、选择题(本大题共4题,满分20分)13.如图是根据的观测数据得到的散点图,可以判断变量,具有线性相关关系的图是()A.①②B.③④C.②③D.①④【答案】B【解析】【分析】根据变量具有线性相关关系,则散点在某条直线附近,从左下至右上或从左上 至右下即可.【详解】根据变量具有线性相关关系,则散点在某条直线附近,从左下至右上或从左上至右下,所以③④图的变量具有线性相关关系.故选:B14.已知复数,则“”是“”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】当时,即,,充分性;取,则,,不必要,得到答案.【详解】设,,当时,即,,充分性;取,则,,不必要性.综上所述:“”是“”的充分不必要条件.故选:A15.已知直线m、n及平面,其中,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是:①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①④D.②④【答案】B【解析】【分析】设一个平面,该面满足,且到平面的距离相等且异侧,全面考虑平面与平面位置关系的几种情况,判断即可.【详解】设一个平面,该面满足,且到平面的距离相等且异侧,如图 则平面的所有点到两条直线m、n距离相等,若平面与平面相交于时,则上的所有点到两条直线m、n距离相等,故①正确;若平面与平面平行时,则平面上没有点到两条直线m、n距离相等,故④正确;若平面与平面重合时,则平面上所有点到两条直线m、n距离相等,故②正确;故任何时候都不可能只有一个点满足条件,所以正确的有①②④.故选:B.16.在体育选修课排球模块基本功发球测试中,计分规则如下满分为10分:①每人可发球7次,每成功一次记1分;②若连续两次发球成功加分,连续三次发球成功加1分,连续四次发球成功加分,以此类推,,连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为,且各次发球之间相互独立,则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】明确恰好得5分的所有情况:发球四次得分,有两个连续得分和发球四次得分,有三个连续得分,分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况:四次发球成功,有两个连续得分,此时概率;四次发球成功,有三个连续得分,分为连续得分在首尾和不在首尾两类,此时概率,所求概率;故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率,题目稍有难度,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 17.在中,角的对边分别是,.(1)求C;(2)若,的面积是,求的周长.【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)将化为,由余弦定理即可求得角C.(2)根据三角形面积求得,再利用余弦定理求得,即可求得答案.【小问1详解】由题意在中,,即,故,由于,所以.【小问2详解】由题意的面积是,,即,由,得,故的周长为.18.已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:;(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【详解】试题分析:(I)对于含递推式的处理,往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式.结合结论,该题需要转换为项的递推式.故由得.两式相减得结论;(II)对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.本题由,,,列方程得,从而求出.得 ,故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列.分别求通项公式,进而求数列的通项公式,再证明等差数列.试题解析:(I)由题设,,.两式相减得,.由于,所以.(II)由题设,,,可得,由(I)知,.令,解得.故,由此可得,是首项为1,公差为4的等差数列,;是首项为3,公差为4的等差数列,.所以,.因此存在,使得为等差数列.【考点定位】1、递推公式;2、数列的通项公式;3、等差数列.19.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到其频数分布图(如图所示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布;(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?并说明理由. 【答案】(1)16171819202122;(2),理由见解析【解析】【分析】(1)由柱状图,易得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求得其相应概率,列出分布列;(2)购买零件所需费用含两部分:一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,结合(1)分别求出、时费用的期望即可下结论.【小问1详解】由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为,从而,,,,,,,所以的分布列为16171819202122【小问2详解】记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),当时,当时,因为, 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.20.已知曲线左、右焦点分别为,直线经过且与相交于两点.(1)求的周长;(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为,且与圆相切,求的方程;(3)设的斜率为,在轴上是否存在一点,使得且?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)周长为6(2)(3)存在,【解析】【分析】(1)由椭圆方程求出,,然后根据椭圆的定义可求出的周长,(2)设圆的方程为,由题意可求得,由与圆相切,利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率,从而可求出直线方程,(3)假设在轴上存在一点,设直线的方程为,,将直线方程代入椭圆方程化简,利用根与系数的关系,表示出线段的中点的坐标,从而可表示出线段中垂线的方程,则可表示点的坐标,然后表示出到直线的距离,再利用列方程可求出的值,从而可得答案.【小问1详解】根据题设条件,可得, 故,,所以,根据椭圆定义,可知,因为,所以,得的周长为6,【小问2详解】设圆的方程为,令,得,故,得.由题意可得直线的斜率存在,由与圆相切,得到直线的距离.解得,故直线的方程为【小问3详解】假设在轴上存在一点,设直线的方程为,将直线的方程和椭圆的方程联立,得,消去并整理,得,必有令,则故线段的中点的坐标为,则线段中垂线的方程为令,得,点到直线的距离, 又因为,所以,即化简得,解得,故.21.设函数,.(1)曲线在点处的切线与轴平行,求实数的值;(2)讨论函数的单调性;(3)证明:若,则对任意,,,有.【答案】(1)(2)答案不唯一,具体见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导数,求得切线斜率,令斜率等于,解方程可得的值;(2)根据对数函数定义域为大于的数,求出讨论与的大小关系,分别求得函数的单调区间;(3)构造函数,求出导数,根据的取值范围得到导函数一定大于零,则可判断函数为单调递增函数,利用当时有即可得证.【小问1详解】函数的导数为,在点处的切线斜率为,解得;【小问2详解】的定义域为,, 若即,则,故在单调递增.若,而,故,则当时,;当及时,故在单调递减,在和单调递增.若,即,同理可得在单调递减,在和单调递增.【小问3详解】欲证成立,即证明,设函数则,由于,故,即在单调增加,从而当时有,即,故成立.
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