上海市嘉定区2022-2023学年高一数学下学期3月调研试题（Word版附解析）

嘉定区高一调研数学试卷2023.03一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______.【答案】##【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故答案为：.2.若，则_______________．【答案】【解析】【分析】利用指数对数互化式即可求出答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查指数的定义，熟练掌握指数对数互化式为解题的关键，属于简单题.3.当时，化简______.【答案】【解析】【分析】利用根式的性质化简可得结果.【详解】因为，则.故答案为：.4.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解.【详解】因为函数为上的增函数，由可得，故原不等式的解集为.故答案为：. 5.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.【答案】##【解析】【分析】由幂函数所过点求参数a，即可得函数表达式.【详解】由题设，，可得，∴幂函数表达式为.故答案为：.6.用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“______”.【答案】且【解析】【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且.故答案为：且7.已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标.【详解】因为的图象必过，即，当，即时，，从而图象必过定点.故答案为：.8.若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件能够判断出原指数函数为增函数，所以底数大于1，这样即可求出a 的范围．【详解】时，，∴该指数函数应为增函数；则有，解得，∴实数a的范围为．故答案为∶．9.若是奇函数，当时，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题设条件，利用，即可求解.【详解】由题意，函数是奇函数，当时，所以.故答案为：.10.已知，方程的解集为______.【答案】【解析】【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.【详解】当时，则；当时，则；当时，则.综上所述，原方程的解集为.故答案为：.11.已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求出原函数在、上的值域，根据两段值域的并集为可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】当时，；当时，. 因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.12.设，，若存在唯一的，使得关于的不等式组有解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由推导出，解不等式，可得出，再有，所以，即可得出，即得，根据整数的唯一性可求得实数的取值范围.【详解】因为，所以，即.因为，所以，于是，解得.又因为，所以，因此，即.令函数，其中，因为存在唯一的整数满足题意，则有，即，解得.故答案为：.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13.已知、，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；对于B选项，取，，则，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.14.若与互为相反数，则（）A.B.C.D.以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】利用对数运算的基本性质可得出结论.【详解】因为与互为相反数，则，因此，.故选：C15.若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知“对任意的整数，恒成立”是真命题，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，结合已知条件可得出关于的等式或不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，则“对任意的整数，恒成立”是真命题，当时，则对任意的整数恒成立，不合乎题意；当且时，原不等式化为. 因为，则不等式的解集为或，所以，，即，解得且；当时，则有对任意的整数恒成立，合乎题意；当时，，不等式的解集为，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.16.对于定义在上的函数，考查以下陈述句：：是上的严格增函数；：任意，，且当时，都有；：当时，都有；关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.、都是的充分条件B.、中仅是的充分条件C.、中仅是的充分条件D.、都不是的充分条件【答案】B【解析】【分析】对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断.【详解】对于，令，则，解得，令，，则，所以，所以函数奇函数，设，则，因为，所以，所以，所以函数是上的增函数，故是的充分条件. 对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义，故不是的充分条件.故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.设集合，.（1）若，试用区间表示集合、，并求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），，（2）.【解析】【分析】（1）当时，解出集合、，利用并集的定义可求得集合；（2）求出集合，根据可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，由得，解得，所以由得，则有，解得，所以.因此.【小问2详解】解：由得，解得，所以.由（1）得，由于，所以，解得.所以实数的取值范围是.18.已知是实数.（1）求证：，并指出等号成立的条件；（2）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立（2）4【解析】【分析】（1）作差法证明即可； （2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.【小问1详解】证明：因为，所以，当且仅当，时，不等式中等号成立.【小问2详解】，当且仅当，即或时，不等式中等号成立.所以的最小值为4.19.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车售价800万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额－成本）（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元.【解析】【分析】（1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，分，两种情况即可；（2）利用二次函数的性质及基本不等式求最值进行分析即可.【小问1详解】由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，则，当时， ，当时，，所以所求函数关系为：.【小问2详解】当时，，则，当且仅当时，不等式中等号成立；当时，，即.当且仅当，即时，不等式中等号成立.因为，所以当时，即当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元.20.已知函数的表达式为，其中、为实数.（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值；（3）若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论.【答案】（1）（2）（3），证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求得、的值，即可求得的值； （2）由可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；（3）令，任取、且，作差，由函数单调性的定义可得出，可得出，求出的取值范围，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为不等式的解集是，所以，关于的方程的两根分别为、，所以，，解得，，因此，.【小问2详解】解：由题意可得，，又因为、均为正数，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.【小问3详解】解：因为，令，其中，由题意可知，函数在上为减函数，任取、且，则，且，所以，，所以，，可得，而，则，. 因此，当函数函数在区间上是严格减函数，.21.已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，说明理由；（2）若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件；（3）若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据新定义证明即可；（2）由定义结合必要不充分条件证明即可；（3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，因为，值域为，则，然后对进行分类讨论即可.【小问1详解】指数函数不具有性质.理由如下：指数函数的定义域为，对于，，因为，，所以不存在满足，因此函数不具有性质.【小问2详解】因为，由于函数具有性质，取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点.即“函数存在零点”是“”的必要条件.若函数存在零点，设，，则，因为对于任意，则，则，且满足，所以函数具有性质，但，因此“函数存在零点”不是“”的充分条件.“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件；【小问3详解】由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，因为，值域为，则，i：当时，的值域为，此时不满足题意；ii：当时，的对称轴为，开口向上且，值域为：，此时，所以不满足题意，iii：当时，对称轴为，开口向下，①当即时，且，解得或（舍去）， ②当即时，且，不满足题意；③当即时，且，满足题意；综上所述：或.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.