湖南省益阳市2022-2023学年高三数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年湖南省益阳市高三年级下学期4月教学质量检测数学试卷1.若复数z满足�ࣉ쬐ʄ罸࣒灰櫀罸，则灰()A.B.C.1D.5櫀2.已知集合灰ሼݔሼ댳䁪，灰ሼ，则为()ሼA.ሼݔሼ.B䁪댳ሼݔሼ댳䁪或댳ሼ댳䁪C.ሼݔሼ.D䁪댳ሼ댳或䁪ሼݔሼ댳䁪或ሼ댳䁪3.双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有ሼݔݔሼሼ쬐ݔሼ良好的可解性.现有双曲正弦函数sinhሼ灰，双曲余弦函数coshሼ灰，则�ሼ࣒灰sinhሼcoshሼ是()A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.在R上单调递减ln�ሼ쬐࣒ݔሼ4.函数�ሼ࣒灰ሼݔ的部分图象大致是()A.B.C.D.ሼ5.已知椭圆쬐灰�䁪࣒的焦点为�ݔ൐䁪࣒，�൐䁪࣒，直线ሼ灰与椭圆C相交于A、B两点，当三角形为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于()ࣉA.B.ݔࣉ.CݔD.ࣉ 6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为ࣉ，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是()A.B.C.D.7.已知灰�쬐࣒ݔࣉ࣒쬐ࣉ�灰，ݔ，灰쬐，则下列结论正确的是()A.댳댳B.댳댳C.댳댳D.댳댳8.已知直线l与曲线灰ሼࣉݔሼʄ쬐ሼࣉݔ相交，交点依次为D、E、F，且ܦ灰灰櫀，则直线l的方程为()A.灰ࣉሼݔB.灰ሼݔC.灰ሼ쬐ࣉD.灰ࣉሼ쬐9.给定事件A，B，C，且�࣒䁪，则下列选项正确的是()A.�࣒�࣒쬐�࣒B.若�࣒䁪，�࣒䁪且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C.若�࣒쬐�࣒灰，则A，B互为对立事件D.若�࣒灰�࣒�࣒�࣒，则A，B，C两两独立10.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且灰灰，灰，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是()A.B.存在点P，使得䁡䁡C.存在点P，使得ܦD.三棱锥ݔܦ的体积最大值为11.如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，罸쬐是对罸�罸灰൐൐࣒进行如下操作而得到：将曲线罸的每条边进行三等分，以每边中间部分 的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到罸쬐，记曲线�灰൐൐࣒的边长为，周长为，则下列说法正确的是()A.ݔ櫀灰�࣒B.櫀灰ࣉC.在ࣉ中灰ܦD.在ࣉ中灰ʄ䁪12.定义在䁪൐쬐࣒上的函数�ሼ࣒的导函数为̵�ሼ࣒，ሼ̵�ሼ࣒�ሼ࣒，ሼ，ሼ�䁪൐쬐࣒�ሼሼ࣒，则下列不等式中一定成立的是()A.�ሼሼ࣒댳�ሼ࣒�ሼ࣒B.�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒쬐�ሼ࣒ሼ쬐ሼሼሼC.�࣒댳�ሼሼ࣒D.�ሼ࣒쬐�ሼ࣒ሼ�ሼ࣒쬐ሼ�ሼ࣒13.已知向量灰�൐ʄ࣒，灰�ݔ൐ͳ࣒，且灰䁪，则ͳ灰__________.14.甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.15.过抛物线灰ሼ的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若灰ࣉ，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.ሼ൐䁪ሼ16.已知函数�ሼ࣒灰ࣉ，若存在实数ሼ，ሼሼࣉ满足䁪ሼ댳ሼ댳ʄcosሼ൐댳ሼࣉሼࣉ，且�ሼ࣒灰�ሼ࣒灰�ሼࣉ࣒，则ሼሼࣉ쬐ሼ的取值范围是__________.17.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，从下列三个条件中任选一个쬐作为已知条件，并解答问题.①sin灰sinsin②灰ࣉݔcosࣉ③的面积为�쬐ݔ࣒ʄ�࣒求角A的大小;�࣒求sinsin的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.数列的前n项的和为，已知灰，灰ࣉ，当时，쬐쬐ݔ灰쬐쬐�࣒求数列的通项公式�࣒设灰�ݔ࣒，求的前2m项和ͳ 19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，灰ܦ灰ܦ灰，ܦ灰，灰ܦ灰䁪，ܦ䁡䁡�࣒证明：�࣒若M为线段AD的中点，求二面角ݔݔ㌳的余弦值.20.为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占䁪䁪o数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理不经常整理合计�࣒求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;�࣒根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值灰䁪䁪櫀的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? �ࣉ࣒用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.�ܽݔ࣒附：灰�쬐࣒�쬐࣒ܽ�쬐࣒�쬐࣒ܽ䁪䁪䁪䁪櫀䁪䁪櫀䁪䁪䁪䁪䁪䁪櫀䁪䁪䁪ሼ䁪䁪ࣉʄ櫀䁪ʄࣉ櫀䁪䁪䁪ሼ21.已知分别为双曲线ݔ灰�䁪൐䁪࣒的上、下焦点，其中坐标为�䁪൐࣒点㌳�ࣉ൐࣒是双曲线上的一个点.�࣒求双曲线的方程;ሼ�࣒已知过点�ʄ൐࣒的直线与ݔ灰�䁪൐䁪࣒上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足ܳ灰ܳ，证明：点Q总在某条定直线上.22.已知函数�ሼ࣒灰ሼݔ，�ሼ࣒灰ሼlnሼ�࣒若�ሼ࣒�ሼ࣒对ሼ൐쬐࣒成立，求实数a的取值范围;ࣉ櫀�ሼ࣒ݔ࣒ሼ�࣒ሼ�ݔ�ሼ࣒�࣒若ࣉ൐ࣉ，函数�ሼ࣒灰ሼ存在两个极值点ሼ，ሼ�ሼ댳ሼ࣒，记ሼݔሼ的最大值与最小值为M，m，求㌳ݔͳ的值. 答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题.【解答】解：因为�ࣉ쬐ʄ罸࣒灰櫀罸，櫀罸櫀罸ࣉݔʄ罸ʄࣉ所以灰灰灰쬐罸，ࣉ쬐ʄ罸ࣉ쬐ʄ罸ࣉݔʄ罸櫀櫀所以灰故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集和补集混合运算，属基础题.【解答】解：灰ሼ灰ሼ䁪댳ሼ，则灰ሼሼ䁪或ሼ，ሼ因此，�࣒灰ሼݔሼ灰ሼ或䁪ሼሼ䁪댳ሼݔሼ䁪或댳ሼ댳䁪3.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.根据题意，依次判断即可.【解答】ሼݔݔሼሼݔ쬐ሼሼݔݔሼ解：由题可知：�ሼ࣒灰sinhሼcoshሼ灰灰，定义域为R，且ሼ，�ݔʄሼ࣒灰ݔ�ሼ࣒，所以函数为奇函数.4.【答案】A【解析】【分析】 本题考查了函数图像的识别，属于中档题.【解答】解：因为ሼݔ䁪，ሼ，ln�쬐࣒쬐࣒灰댳䁪，所以C，D错误.而�ݔࣉݔʄሼݔ令�ሼ࣒灰ln�쬐࣒ݔሼ，所以̵�ሼ࣒灰ሼ쬐댳䁪，即�ሼ࣒单调递减，当ሼ时，�ሼ࣒灰ln�ሼ쬐࣒ݔ࣒쬐ሼ�ln即，࣒䁪�댳ሼݔሼ댳䁪，所以ሼ时，ln�ሼ쬐࣒ݔሼ댳ሼ，ሼ令�ሼ࣒灰ሼݔ，所以ሼ时，�ሼ࣒댳�ሼ࣒，ሼݔሼݔሼݔݔሼ而̵�ሼ࣒灰灰댳䁪，即ሼ时，�ሼ࣒灰ሼݔ单调递减，ሼݔሼݔln�ሼ쬐࣒ݔሼ所以所以ሼ时，�ሼ࣒灰ሼݔ，在ሼ쬐单调递增错误，B错误.故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.【解答】ሼ解：将ሼ灰代入椭圆方程쬐灰�䁪࣒，可得灰，则灰，当三角形为直角三角形时，由灰，得灰，即灰ݔ，亦即灰ݔ灰得解，ݔ6.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.【解答】解：由题可知，最大球即为其内切球；如图，设底面ABCD中心为O，连接CO，EO，由几何关系知，ࣉࣉࣉ在中BC边上的高灰ࣉݔ�࣒灰， 䁪ࣉ又灰ݔ灰，设内切圆半径为rʄʄࣉࣉࣉࣉ由等面积法可知：灰，解得灰ʄࣉ则内切球体积为灰�࣒灰ࣉ7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了比较数的大小，属于中档题.【解答】解：因为灰�쬐࣒ݔࣉ࣒쬐ࣉ�灰，䁪ݔ䁪，쬐ݔࣉݔ쬐ݔ所以灰灰댳，ࣉ쬐ࣉݔࣉ쬐所以댳，쬐ݔݔݔ쬐ݔ因为灰灰灰쬐令设�ሼ࣒灰ሼݔሼ灰࣒ሼ�̵令，ሼݔ灰䁪，可得ሼ灰，且̵�ሼ࣒䁪时，ሼ，ݔ所以�࣒�࣒灰䁪，即ݔ得可，䁪ݔ，即所以故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.【解答】解：灰ሼࣉݔሼ�쬐ࣉ࣒ݔሼ�灰ݔሼʄ쬐ሼࣉݔ࣒쬐，曲线灰ሼࣉݔሼʄ쬐ሼࣉݔ的对称中心为�൐࣒， 由ܦ灰灰櫀，可知点E为对称中心，故E的坐标为�൐࣒，不妨设ܦ�ሼ൐ሼࣉݔሼʄ쬐ሼࣉݔ࣒，则由ܦ灰櫀，得�ሼݔሼʄ쬐ሼࣉݔࣉሼ�쬐࣒ݔ࣒灰櫀，即�ሼݔ࣒쬐�ሼݔ࣒ࣉ쬐�ሼݔ࣒灰櫀，令ሼݔ灰，则쬐�ࣉ쬐࣒灰櫀쬐ʄ쬐ݔ櫀灰䁪，即ݔ�࣒櫀쬐ࣉ�쬐࣒ݔ�ʄ䁪灰櫀ݔ쬐ʄࣉ쬐ʄݔ࣒灰䁪，�ݔ࣒�ʄ쬐ࣉ쬐櫀࣒灰䁪，灰当灰时，ሼ灰쬐灰，�൐ࣉ࣒又l过�൐࣒，直线l的方程为灰ሼݔ，当灰ݔ൐䁪�，䁪灰쬐灰ሼ，时ݔ࣒又l过�൐࣒，直线l的方程为灰ሼݔ综上，直线l的方程为灰ሼݔ9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.【解答】对于①当A，B互斥时，�࣒灰�࣒쬐�࣒②当A，B不互斥时，�࣒댳�࣒쬐�࣒对于若�࣒䁪，�࣒䁪且A，B互斥，那么�࣒灰䁪�࣒�࣒，故A，B不可能相互独立；对于C，由�࣒쬐�࣒灰，并不能得出A与B是对立事件;对D，若�࣒灰�࣒�࣒�࣒，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.【解答】解：由已知可得，，所以故A正确；因为，若，则，不存在，故B错误； 因为，当时，，可得，故C正确；当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.【解答】解：根据题意将曲线罸的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到罸쬐，记曲线�灰൐൐࣒的边长为，ݔݔ数列是首项为6，公比为的等比数列灰灰�࣒，故A正确;ࣉࣉࣉʄ封闭曲线�灰൐൐࣒的周长为，则数列是首项为灰，公比为ࣉ的等比数列，ʄ࣒ݔ櫀࣒ʄݔ櫀所以灰�，则櫀灰�灰，故B错误;ࣉࣉ由题知灰，灰䁪，可求得灰ࣉ，则灰쬐，于是灰�쬐࣒灰灰ࣉ，又ܦ灰ࣉ䁪，灰ʄࣉ，ܦ灰，ܦ灰쬐ܦ，则ܦ灰�쬐ܦ࣒灰쬐ܦ灰ʄݔ灰ࣉ，故C正确；ࣉ由题知灰䁪，灰，灰쬐，结合C可知，灰ࣉ，ࣉ则灰쬐쬐灰쬐쬐ࣉࣉ灰쬐ࣉ灰ࣉ쬐ࣉ灰ʄ䁪，故D正确.ࣉ12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查抽象函数单调性，属于中档题.【解答】�ሼ࣒ሼ̵�ሼ࣒ݔ�ሼ࣒解：由题意可设�ሼ࣒灰，则̵�ሼ࣒灰，ሼሼ̵�ሼ࣒䁪在�䁪൐쬐࣒上恒成立，则�ሼ࣒在�䁪൐쬐࣒上单调递增， 对于取�ሼ࣒灰ሼ，满足ሼ̵�ሼ࣒�ሼ࣒，但�ሼሼ࣒灰�ሼ࣒�ሼ࣒；�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒对于ሼ쬐ሼሼ，�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒，即ሼሼ，쬐ሼሼሼ�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒①，쬐ሼ�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒ሼሼ쬐ሼሼ，�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒，即ሼሼ，ሼ�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒②，쬐ሼ쬐ሼ由①+②得�ሼ쬐ሼ࣒�ሼ࣒쬐�ሼ࣒，故B正确;ሼ쬐ሼሼ쬐ሼ࣒ሼሼ对于取�ሼ࣒灰ሼ，则�࣒灰�，�ሼ࣒灰ሼ，ሼ쬐ሼ�࣒ݔ�ሼሼ࣒䁪，故C错误ሼሼݔሼ对于ܦ�ሼ࣒ݔሼ�ሼ࣒灰ሼ�ሼ࣒①，ሼሼݔሼሼ�ሼ࣒ݔ灰࣒ሼ�ݔሼ�ሼ࣒②，由①-②得ሼሼሼݔሼሼݔሼ�ሼ࣒�ሼ࣒ݔሼ�࣒ሼݔሼ�灰࣒ሼ�ሼ쬐࣒ሼ�ሼ灰࣒ሼ�쬐࣒ሼ�ሼݔ࣒ሼ�ሼݔ�ሼ࣒࣒䁪，ሼሼሼ�ሼ࣒쬐�ሼ࣒ሼ�ሼ࣒쬐ሼ�ሼ࣒，故D正确，故选BD13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.【解答】解：因为灰䁪，所以ݔ쬐ʄͳ灰䁪，可得ͳ灰ࣉ14.【答案】ࣉ【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.【解答】解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有灰ࣉ䁪种坐法，而甲乙一定相邻的坐法有櫀灰䁪种坐法，ࣉ䁪ݔ䁪则甲乙中间有空位的概率为灰灰ࣉ䁪ࣉ 15.【答案】ࣉࣉ【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.【解答】ࣉࣉ解：由题可知灰，设直线l方程为ሼ灰ͳ쬐，�ሼ൐࣒൐�ሼ൐࣒，ࣉሼ灰ͳ쬐联立方程可得：，消去x可得：ݔͳݔ灰䁪，灰ሼ故灰，又灰ࣉ，可得：灰ࣉࣉ൐灰ࣉ，ࣉ所以灰�쬐࣒灰ʄࣉ灰ࣉࣉ櫀16.【答案】൐쬐࣒【解析】【分析】本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.【解答】解：由题意，函数�ሼ࣒的大致图象如图所示，ࣉ由图象知，ሼ൐࣒ʄ由ሼ，ሼࣉ关于ሼ灰对称，可得ሼࣉ灰ݔሼ，由ሼ灰ʄcosሼ，可得ሼ灰cosሼ， 那么ሼሼࣉ쬐ሼ灰ሼ�ݔሼ࣒쬐cosሼࣉ构造新函数�ሼ࣒灰ݔሼ쬐ሼ쬐cosሼ，ሼ൐࣒ʄࣉ则̵�ሼ࣒灰ݔ쬐ሼݔsinሼ，ሼ൐࣒൐ʄࣉ则̵̵�ሼ࣒灰ݔݔʄcosሼ，在区间൐࣒单调递减，ʄࣉ̵̵�࣒댳䁪，ʄࣉ即在区间൐࣒൐̵̵�ሼ࣒댳䁪൐ʄࣉ所以̵�ሼ࣒灰ݔ쬐ሼݔsinሼ在区间൐࣒单调递减，ʄ又因为̵�࣒灰ݔ쬐ݔsin灰䁪，ࣉ所以在区间൐̵࣒�ሼ࣒灰ݔ쬐ሼݔsinሼ䁪ʄࣉ所以在区间൐࣒൐�ሼ࣒灰ݔሼ쬐ሼ쬐cosሼ单调递增，ʄࣉ櫀因为�࣒灰，�࣒灰쬐，ʄ櫀所以ሼሼࣉ쬐ሼ的取值范围为൐쬐࣒17.【答案】解：�࣒选择①由正弦定理，sincos灰sinsin，因为sin䁪，所以cos灰sin，即cos灰sincos，因为䁪댳댳，所以cos䁪，所以sin灰，所以灰，即灰ࣉsin选择②灰ࣉsin灰ࣉݔࣉcos，ݔcos由正弦定理，sinsin灰ࣉsinݔࣉsincos，ࣉ因为sin䁪，所以sin灰ࣉݔࣉcos，即sin�쬐࣒灰，ࣉʄ因为䁪댳댳，所以댳쬐댳，所以쬐灰，即灰ࣉࣉࣉࣉࣉࣉࣉ选择③由灰ʄ�쬐ݔ࣒灰sin，쬐ݔ可得ࣉ灰sin，即ࣉcos灰sin，所以tan灰ࣉ，灰ࣉ方法一：sinsin灰sinsin�쬐࣒ࣉ ࣉ灰sin�sin쬐cos࣒ࣉ灰sin쬐sincosࣉ灰ݔcos쬐sinʄʄʄ灰쬐sin�ݔ࣒ʄ䁪因为䁪댳댳，所以ݔ댳ݔ댳，ࣉ所以ݔ�sin댳ݔ࣒，ࣉ所以䁪댳쬐sin�ݔ࣒，ʄʄࣉ即sinsin的取值范围为�䁪൐ʄ方法二：由余弦定理，灰쬐ݔ쬐灰cosݔ，再由正弦定理，sin灰sin쬐sinݔsinsin，因为灰，ࣉࣉ所以灰sin쬐sinݔsinsinsinsinݔsinsin，ʄࣉࣉ即sinsin，当且仅当sin灰sin灰时“=”成立.ʄࣉ又因为sin䁪，sin䁪，所以䁪댳sinsin，ʄࣉ即sinsin的取值范围为�䁪൐ʄ【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用、三角恒等变换的综合应用，属中档题.18.【答案】解：�࣒当时，쬐ݔݔ灰ݔ쬐쬐即쬐灰쬐쬐，所以灰，灰ࣉ，所以灰时也满足쬐灰쬐쬐当时，灰ݔ�쬐쬐ʄ쬐ࣉ쬐灰灰쬐࣒ݔ�쬐ݔ灰쬐ݔ࣒쬐�쬐࣒灰쬐쬐ࣉ쬐ʄ쬐쬐�ݔ࣒쬐灰�쬐࣒当灰时，灰，也满足上式，所以灰�쬐࣒�࣒灰�ݔ࣒ͳ灰ݔͳ�ݔ쬐櫀ʄ쬐ʄࣉݔࣉ쬐ݔ࣒ͳ쬐ͳ�ͳ쬐࣒灰쬐ʄ쬐쬐ͳ 灰쬐ʄ쬐쬐ͳͳ�쬐ͳ࣒灰灰ͳ�ͳ쬐࣒【解析】本题考查数列通项，前n项和，属于中档题.19【.答案】解：�′࣒过点D作ܦ䁡䁡交AB于点O，连接OE，由已知条件可知：灰灰，ܦ灰쬐ܦݔܦcos䁪得ܦ灰ࣉ쬐ܦ灰ܦܦ，同理灰ࣉ，而ܦ灰，ܦ쬐灰ܦ，即ܦ，ܦ灰，ܦ平面ABFE，平面ABFE，�′′࣒建立如图空间直角坐标系ݔሼ，ࣉ可知：�䁪൐ݔ൐䁪�㌳，࣒䁪൐ݔ൐࣒，�䁪൐൐䁪࣒，�ࣉ൐൐䁪࣒平面ABF的法向量为ͳ灰�䁪൐䁪൐࣒，设平面MBF的法向量为灰�ሼ൐൐࣒，灰䁪灰�ࣉ൐൐䁪࣒则，又ࣉࣉ㌳灰�䁪൐൐ݔ࣒㌳灰䁪ࣉሼ쬐灰䁪ࣉࣉ，可取灰�൐ݔ൐ࣉݔࣉ࣒，ݔ灰䁪ͳݔࣉࣉࣉcos댳ͳ，灰灰灰ݔ，ͳ쬐ࣉ쬐ࣉࣉࣉ依题意可知，二面角ݔݔ㌳的余弦值为ࣉ 【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.20.【答案】解：�࣒由题意可得�䁪䁪䁪櫀쬐䁪䁪䁪櫀쬐䁪䁪䁪櫀쬐ͳ쬐䁪䁪࣒䁪灰，解得ͳ灰䁪䁪櫀，䁪䁪櫀ݔ䁪櫀ࣉ䁪学生期中考试数学成绩的上四分位数为：䁪쬐䁪灰分；䁪ࣉࣉ�࣒数学成绩优秀的有䁪䁪櫀䁪o灰櫀䁪人，不优秀的人䁪䁪櫀䁪o灰櫀䁪人，经常整理错题的有䁪䁪�ʄ䁪o쬐䁪o࣒灰䁪人，不经常错题的是䁪䁪ݔ䁪灰ʄ䁪人，经常整理错题且成绩优秀的有櫀䁪䁪䁪o灰ࣉ櫀人，则数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100零假设为䁪数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，䁪䁪�ࣉ櫀櫀ݔ櫀櫀࣒櫀根据列联表中的数据，经计算得到可得灰灰ࣉʄ，櫀䁪櫀䁪䁪ʄ䁪根据小概率值灰䁪䁪櫀的独立性检验，我们推断䁪不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于䁪䁪櫀；�ࣉ࣒由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则灰䁪，1，2，ݔ经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件�灰䁪൐൐࣒，�࣒灰ࣉ櫀参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件ͳ�ͳ灰䁪൐൐࣒櫀櫀櫀䁪则�䁪䁪࣒灰，�䁪࣒灰，�䁪࣒灰�࣒灰ʄʄ，�࣒灰，櫀䁪ࣉ櫀䁪ʄ�࣒灰灰䁪，�࣒灰�࣒灰ʄʄ，�灰䁪࣒灰�䁪࣒�䁪䁪࣒쬐�࣒�䁪࣒쬐�࣒�䁪࣒櫀櫀櫀䁪灰쬐ࣉ쬐ࣉ灰，ʄʄʄʄ䁪櫀櫀櫀�灰࣒灰�࣒�࣒쬐�࣒�࣒䁪ࣉ櫀䁪ʄ灰ࣉ쬐ࣉ灰，䁪ʄʄ䁪櫀櫀 ʄʄ䁪�灰࣒灰�࣒�࣒灰ࣉ灰ʄʄʄʄ䁪，櫀故X的分布列如下：X012櫀䁪䁪ʄʄ䁪Pʄʄ䁪ʄʄ䁪ʄʄ䁪櫀䁪䁪ʄʄ䁪则可得X的数学期望为�࣒灰䁪쬐쬐灰䁪䁪ʄʄ䁪ʄʄ䁪ʄʄ䁪【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.21.【答案】解�࣒由坐标为�䁪൐࣒得쬐灰ʄ，ࣉ点㌳�ࣉ൐࣒在双曲线上得ݔ灰灰ሼ可以解得，双曲线方程为ݔ灰灰ࣉࣉ�࣒设直线与双曲线交于�ሼ൐࣒，�ሼ൐࣒点ܳ�ሼ൐࣒，ܳ由ܳ灰ܳ得灰灰�䁪且࣒，灰ݔ，ܳ灰ܳ，ܳ代入坐标得：�ʄݔ൐ሼݔሼ�灰࣒ݔ൐ሼݔሼ�൐࣒ݔ൐ʄݔሼ�灰࣒ݔ൐ሼݔ࣒，整理得：ሼݔ�ʄ灰ሼݔ࣒①൐ሼ쬐ሼ灰ሼ�쬐࣒②得ሼݔ�ሼʄ灰ሼݔ࣒③同理ݔ灰ݔ൐④，쬐灰�쬐࣒⑤得ݔ�灰ݔ࣒⑥由于双曲线上的点满足ࣉݔሼ灰ࣉ⑥ࣉݔ�࣒ሼʄݔࣉ�灰࣒ሼݔࣉ�ݔሼݔࣉ得③ݔ࣒即ࣉݔࣉ有࣒ݔ�࣒ሼʄݔࣉ�灰ࣉݔʄሼ灰ࣉ表示点ܳ�ሼ൐࣒在定直线ʄሼݔࣉ쬐ࣉ灰䁪上【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.22【.答案】解：�′࣒由�ሼ࣒�ሼ࣒对ሼ恒成立可知：ሼݔݔሼ即，ሼnlሼݔlnሼ䁪ሼሼݔሼ쬐令�ሼ࣒灰ሼݔሼ쬐灰࣒ሼ�̵，ሼnlݔሼݔሼ灰ሼ当时，̵�ሼ࣒䁪，�ሼ࣒单调递增，�ሼ࣒�࣒灰䁪当时，令̵�ሼ࣒灰䁪得ሼ灰ݔ쬐灰ሼ，ݔݔ，且䁪댳ሼ댳댳ሼሼ�䁪൐ሼ࣒时̵�ሼ࣒䁪，ሼ�ሼ൐ሼ࣒时̵�ሼ࣒댳䁪，ሼ�ሼ൐쬐࣒时̵�ሼ࣒䁪， 所以ሼ�൐ሼ࣒有�ሼ࣒单调递减，�ሼ࣒댳�࣒灰䁪，与题设矛盾，不成立;所以实数a的取值范围为�࣒由题知：�ሼ࣒灰ሼݔݔlnሼ，ሼࣉ櫀由�࣒可知ࣉ൐ࣉ，�ሼ࣒有两个极值点ሼ，ሼ，则ሼ쬐ሼ灰，ሼሼ灰，�ሼ࣒ݔݔሼ�ݔሼnlݔݔሼ࣒ሼ�ݔlnሼ࣒ሼሼ灰ሼݔሼሼݔሼሼሼ�ሼݔሼ࣒쬐lnሼ쬐ሼሼ쬐ሼሼሼ灰灰쬐ln灰쬐ሼlnሼݔሼሼݔሼሼݔሼሼሼ�ሼ쬐ሼ࣒ሼሼ令灰，则ʄ灰灰쬐쬐，ሼሼሼሼሼࣉ櫀由൐，可知ࣉ，ࣉࣉ쬐ݔݔln设�࣒灰쬐ln，则̵�࣒灰ݔݔ�ݔ࣒设�࣒灰ݔlnݔ�灰࣒�̵则，lnݔݔ࣒，而�ݔ灰̵࣒ݔnlݔ䁪，̵�࣒单调递增，可知̵�̵࣒�ࣉ࣒䁪，�࣒单调递增，可知�࣒�ࣉ࣒䁪，̵�࣒댳䁪，可知̵�࣒单调递减，可知㌳灰max�࣒灰�ࣉ࣒，ͳ灰min�࣒灰�࣒，㌳ݔ࣒ࣉ�灰ͳݔ�࣒灰lnࣉ【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.