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湖南省益阳市六校2022-2023学年高二数学上学期期末联考试题(Word版附解析)

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益阳市2022-2023学年六校期末联考数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.(选择性必修1+选择性必修2数列部分)一、选择题(共40分)1.已知向量,则它们的位置关系是()A.∥,∥B.,C.,∥D.∥,【答案】D【解析】【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.【详解】由题可知:得,故选:D.2.在三棱锥中,、、两两垂直,,,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面的法向量的是(  ) A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设平面的一个法向量为,利用,求出、的值,可得出向量的坐标,然后选出与共线的向量坐标即可.【详解】,,设平面的一个法向量为,由则,解得,.又,因此,平面的一个法向量为.故选:A.【点睛】本题考查平面法向量的计算,熟悉法向量的计算方法是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.3.已知等比数列的公比为q,前n项和为,若,,则()A.8B.10C.12D.14【答案】D【解析】【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得,从而易得. 【详解】由题意,,所以,.故选:D.4.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)…,设第个图形的边长为,则数列的通项公式为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】观察得到从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以为公比的等比数列,根据等比数列的通项写出即可.【详解】由题得,从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以为公比的等比数列,所以第个图形的边长为=.故选:D.5.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线已知的顶点,若其欧拉线的方程为,则顶点的坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】设出点C的坐标,由重心坐标公式求得重心,代入欧拉线得一方程,求出AB的垂直平分线,和欧拉线方程联立求得三角形的外心,由外心到两个顶点的距离相等得另一方程,两方程联立求得点C的坐标【详解】设C(m,n),由重心坐标公式得,三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得:整理得:m-n+4=0①AB的中点为(1,2),AB的中垂线方程为,即x-2y+3=0.联立解得∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得:m2+n2+2m-2n=8 ②联立①②得:m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时B,C重合,舍去.∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A【点睛】本题考查了直线方程,求直线方程的一般方法:①直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程.②待定系数法:先设出直线的方程,再根据已知条件求出假设系数,最后代入直线方程,待定系数法常适用于斜截式,已知两点坐标等.6.已知定点,点在圆上运动,则线段的中点的轨迹方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.【详解】设,则满足.故.故.又点在圆上.故. 故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.7.已知双曲线C:,,分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点连接交双曲线左支于点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于,的齐次方程,即可求出离心率【详解】设,则,,,,因为,所以,故,在中,由余弦定理可知,整理得,即,所以.故选:B8.已知F1,F2分别为双曲线C:的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的右支交 于A,B两点(其中点A在第一象限).设点H,G分别为△AF1F2,△BF1F2的内心,则|HG|的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质,可知的横坐标都是,得到轴,设直线的倾斜角为,和分别表示和,根据,将表示为的三角函数求最值.【详解】内切圆与各边相切于点,有的横坐标相等,,,,在双曲线上,即是双曲线的顶点,与双曲线相切于顶点(如图)的横坐标都是,设直线的倾斜角为,那么,中,双曲线,,可得, ,的范围是故选D.【点睛】本题考查了双曲线方程,几何性质,以及三角形内心的性质,并且考查了三角函数的化简和求最值,意在考查数形结合,转化与化归,和逻辑推理,计算能力,属于难题,本题的关键1.根据几何性质确定的横坐标都是,2.设倾斜角为,将表示为的三角函数.二、多选题(共20分)9.已知点P是平行四边形所在的平面外一点,如果,下列结论正确的有()A.B.C.是平面的一个法向量D.【答案】ABC【解析】【分析】由,可判定A正确;由,可判定B正确;由且,可判定C正确;由是平面的一个法向量,得到,可判定D不正确. 【详解】由题意,向量,对于A中,由,可得,所以A正确;对于B中,由,所以,所以B正确;对于C中,由且,可得向量是平面的一个法向量,所以C正确;对于D中,由是平面的一个法向量,可得,所以D不正确.故选:ABC10.数列{an}的前n项和为Sn,,则有()A.Sn=3n-1B.{Sn}为等比数列C.an=2·3n-1D.【答案】ABD【解析】【分析】根据求得,进而求得以及判断出是等比数列.【详解】依题意,当时,,当时,,,所以,所以,所以.当时,;当时,符合上式,所以.,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以ABD选项正确,C选项错误. 故选:ABD11.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则下列结论正确的是()A.的方程为B.的离心率为C.曲线经过的一个焦点D.直线与有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为,设出双曲线方程,代入已知点的坐标,求出双曲线方程判断;再求出双曲线的焦点坐标判断,;联立方程组判断.【详解】解:由双曲线的渐近线方程为,可设双曲线方程为,把点代入,得,即.双曲线的方程为,故正确;由,,得,双曲线的离心率为,故错误;取,得,,曲线过定点,故正确;联立,化简得,所以直线与只有一个公共点,故不正确.故选:.12.定义点到直线:的有向距离为. 已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是()A.若,则直线与直线平行B.若,,则直线与直线垂直C.若,则直线与直线垂直D.若,则直线与直线相交【答案】BCD【解析】【分析】要理解题目中有向距离的概念,点在直线上方时为正,下方时为负,绝对值代表点到直线的距离,根据各选项判断即可【详解】设,,选项A,若,则,则点在直线的同一侧,且到直线距离相等,所以直线与直线平行,所以正确;选项B,点在直线的两侧且到直线的距离相等,直线不一定与垂直,所以错误;选项C,若,满足,即,则点都在直线上,所以此时直线与直线重合,所以错误;选项D,若,即,所以点分别位于直线的两侧或在直线上,所以直线与直线相交或重合,所以错误.故选:BCD三、填空题(共20分)13.如下图,以长方体的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标为_________. 【答案】【解析】【分析】根据题意推导出的坐标,从而得出的坐标,进而得出结论.【详解】因为的坐标为,,则,所以,因此,故答案为:.【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础题.14.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.【答案】【解析】【详解】分析:由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解:设圆的方程为,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则:,解得:,则圆的方程为.点睛:求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式. 15.已知等差数列中,,,若在数列每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第项为___.【答案】【解析】【分析】先计算出等差数列的公差,进而得到新的等差数列的公差,从而求出的通项公式,求出新数列的第项.【详解】设等差数列的公差为,则,在数列每相邻两项之间插入三个数,则新的等差数列的公差为,故新数列的首项为,故通项公式为,故.故答案为:3116.设抛物线,点是抛物线的焦点,点在轴正半轴上(异于点),动点在抛物线上,若是锐角,则的范围为__________.【答案】【解析】【分析】设,由是锐角得到对任意恒成立.令,则对任意恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围.【详解】设,可知,且,所以,,因为是锐角,所以,即,整理得, 等价于对任意恒成立;令,则对任意恒成立;因为的对称轴为,故分类讨论如下:(1),即时,,所以;(2),即时,应有,得;综上所述:.【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题,考查二次函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题(共70分)17.如图,在三棱柱中,底面,,,,为的中点,为侧棱上的动点.(1)求证:平面平面;(2)试判断直线与是否能够垂直.若能垂直,求的长;若不能垂直,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不能垂直,理由见解析 【解析】【分析】(1)利用,推出平面,即可证明面面垂直;(2)建系,写出的坐标,设,利用直线与能垂直,数量积为零,求出,,不能垂直.【小问1详解】因为在三棱柱中,底面,,,,为的中点,为侧棱上的动点.所以,,因为,平面所以平面,因为平面,所以平面平面.【小问2详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,,,设,则,若直线与能垂直,则, 解得,因为,所以直线与不能垂直.18.设数列满足.(1)求和的值.(2)求数列的通项公式.(3)令,求数列的前n项和.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)根据递推公式,逐项计算,即可求解;(2)由,结合叠加法,利用等比数列的求和公式,即可求解;(3)根据,结合乘公比错位相减求和,即可求解.【详解】(1)当时,,当时,,所以.(2)由数列满足.可得,,,,,相加可得,所以,所以数列的通项公式为.(3)由,可得, 则,两式相减,可得,,所以.19.已知各项都为正数的等比数列的前项和为,数列的通项公式,若,是和的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)运用等比数列的通项公式及性质,由,,结合题设条件,即可求解;(2)借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.小问1详解】∵数列的通项公式,∴,设各项都为正数的等比数列的公比为,则,∵,∴,① ∵是和的等比中项,∴,解得,②由①②得,解得或(舍去),∴;【小问2详解】当为偶数时,,设,③则,④③减④,得,∴,∴,当为奇数,且时,,经检验,符合上式,∴20.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为 S,求S的最小值及此时直线l的方程.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)S的最小值为4,直线l的方程为x-2y+4=0.【解析】【分析】(1)直线方程化y=k(x+2)+1,可以得出直线l总过定点;(2)考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解;(3)利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积,利用均值不等式求最值,确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】(1)证明:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k≥0,故k的取值范围是.(3)依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为1+2k,∴A,B(0,1+2k).又且1+2k>0,∴k>0.故S=|OA||OB|=××(1+2k)=≥×(4+)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.21.已知圆C过点,且圆心C在直线上.(1)求圆C的标准方程.(2)设直线与圆C交于不同的两点A,B,是否存在实数a,使得过点的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) (2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)设圆的方程,由题意列出方程组,解方程组求得答案;(2)假设存在符合条件的实数a,可判断圆心必在直线l上,结合直线l垂直平分弦AB,求得a,再利用直线交圆C于A,B两点,结合判别式求得a的范围,即可得出结论.【小问1详解】设圆C的方程为,则有,解得,所以圆C的方程为,化为标准方程,得.【小问2详解】假设存在符合条件的实数a,由于直线l垂直平分弦AB,故圆心必在直线l上,所以直线l的斜率,又,所以.将与圆C的方程联立,整理得,由于直线交圆C于A,B两点,故,解得,与矛盾,故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.22.已知椭圆C的离心率为,长轴的两个端点分别为,.(1)求椭圆C方程; (2)过点的直线与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线交于点Q,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)依题意可得,再根据离心率求出,最后根据,求出,即可求出椭圆方程;(2)设直线l的方程为,,,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,在表示出直线的方程,即可求出点坐标,再表示出、,即可得到,即、、三点共线,即可得证;【小问1详解】解:由长轴的两个端点分别为,,可得,由离心率为,可得,所以,又,解得,所以椭圆C的标准方程为;小问2详解】解:设直线l的方程为,由得设,,则, 所以,直线的方程为,所以所以,所以,即,所以、、三点共线,所以;

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-04 14:35:02 页数:21
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文章作者:随遇而安

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