湖南省益阳市六校2022-2023学年高二数学上学期期末联考试题(Word版含解析)
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益阳市2022-2023学年六校期末联考数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。(选择性必修1+选择性必修2数列部分)一、选择题(共40分)1.已知向量a=1,2,-2,b=-3,-6,6,c=2,1,2,则它们的位置关系是 A.a∥b,a∥cB.a⊥b,a⊥cC.a⊥b,b∥cD.a∥b,b⊥c2.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量中是平面PAB的法向量的是 A.1,1,12B.1,2,1C.1,1,1D.2,-2,13.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若q=2,S2=6,则S3= A.8B.10C.12D.144.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3),⋯,设第n个图形的边长为an,则数列an的通项公式为 学科网(北京)股份有限公司
A.13nB.13n-1C.13nD.13n-11.任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点A2,0,B0,4,若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为 A.-4,0B.-3,-1C.-5,0D.-4,-22.已知定点B3,0,点A在圆x+12+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是 A.x+12+y2=1B.x-22+y2=4C.x-12+y2=1D.x+22+y2=43.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M是双曲线右支上一点,连接MF1交双曲线C左支于点N,若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.54.已知F1,F2分别为双曲线C:x22-y26=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限).设点H,G分别为△AF1F2,△BF1F2的内心,则∣HG∣的取值范围是 A.22,4B.2,463C.433,22D.22,463二、多选题(共20分)5.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=2,-1,-4,AD=4,2,0,AP=-1,2,-1.下列结论正确的有 A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.AP∥BD6.数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Snn∈N*,则有 A.Sn=3n-1B.Sn为等比数列C.an=2⋅3n-1D.an=1,n=12⋅3n-2,n≥27.已知双曲线C过点3,2且渐近线为y=±33x,则下列结论正确的是 学科网(北京)股份有限公司
A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点1.定义点Px0,y0到直线l:ax+by+c=0a2+b2≠0的有向距离为d=ax0+by0+ca2+b2.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2.以下命题不正确的是 A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直D.若d1⋅d2≤0,则直线P1P2与直线l相交三、填空题(共20分)2.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1的坐标为4,3,2,则BD1的坐标为.3.在平面直角坐标系中,经过三点0,0,1,1,2,0的圆的方程为.4.已知等差数列an中,a2=4,a6=16,若在数列an每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为.5.设抛物线x2=4y点F是抛物线的焦点,点M0,m在y轴正半轴上(异于F点),动点N在抛物线上,若∠FNM是锐角,则m的范围为.四、解答题(共70分)6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,CAB=90∘,AB=AC=2,AA1=3,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.(12分)学科网(北京)股份有限公司
(1)求证:平面APM⊥平面BB1C1C;(2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直.若能垂直,求PB的长;若不能垂直,请说明理由.1.设数列an满足a1=2,an+1=an+3⋅22n-1n∈N+.(10分)(1)求a2和a3的值.(2)求数列an的通项公式.(3)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.2.已知各项为正数的等比数列an的前n项和为Sn,数列bn的通项公式bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数n∈N*,若S3=b5+1,b4是a2和a4的等比中项.(12分)(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an⋅bn的前n项和Tn.3.已知直线l:kx-y+1+2k=0k∈R.(12分)(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.学科网(北京)股份有限公司
1.已知圆C过点M0,-2,N3,1,且圆心C在直线x+2y+1=0上.(12分)(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P2,0的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆C的离心率为32,长轴的两个端点分别为A-2,0,B2,0.(12分)(1)求椭圆C的方程.(2)过点1,0的直线与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线x=4交于点Q,求证:S△MBNS△MBQ=∣BN∣∣BQ∣学科网(北京)股份有限公司
答案一、选择题1.D2.A3.D4.D5.A6.C7.B8.D二、多选题9.A;B;C10.A;B;D11.A;C12.B;C;D三、填空题13.(-4,-3,2)14.x2+y2-2x=015.3116.(0,1)∪(1,9)四、解答题17.(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,CAB=90∘,AB=AC=2,AA1=3,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.所以AM⊥BC,AM⊥BB1,因为BC∩BB1=B,所以AM⊥平面BB1C1C,因为AM⊂平面APM,学科网(北京)股份有限公司
所以平面APM⊥平面BB1C1C.(2)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,B0,2,0,C12,0,3,A0,0,0,设BP=t0≤t≤3,则P0,2,t,BC1=2,-2,3,AP=0,2,t,若直线BC1与AP能垂直,则BC1⋅AP=0-4+3t=0,解得t=433,因为t=433>BB1=3,所以直线BC1与AP不能垂直.18.(1)直线l:kx-y+1+2k=0k∈R变形可得y-1=kx+2,所以直线l过定点-2,1.(2)将直线方程变形可得y=kx+1+2k,因为直线l不经过第四象限,所以k≥0,1+2k≥0,解得k≥0,所以k的取值范围为0,+∞.(3)直线l:kx-y+1+2k=0k∈R,分别令y=0,x=0,可得点A-1+2kk,0,B0,1+2k,由-1+2kk<0,1+2k>0解得k>0.S△AOB=12∣OA∣ ∣OB∣=12⋅1+2kk⋅1+2k=12⋅4k+1k+4≥12⋅24k×1k+4=4.当且仅当4k=1k,即k=12(k=-12舍去)时取等号,此时直线l的方程为12x-y+1+1=0,整理可得x-2y+4=0,综上可知,S△AOB的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.19.(1)n=1时,a2=a1+3⋅21=8;n=2时,a3=a2+3⋅23=32.所以a2=8,a3=32.(2)由题知:an+1-an=3⋅2n-1,所以a2-a1=3⋅21,a3-a2=3×23,a4-a3=3×25,⋯,an-an-1=3×22n-3,左右分别相加得:an-a1=3×21+3×23+3×25+⋯+3×22n-3=3×2⋅1-4n-11-4=22n-1-2,所以an=22n-1-2+2=22n-1.学科网(北京)股份有限公司
(3)bn=n×22n-1,Sn=1×21+2×23+3×25+⋯+n-1×22n-3+n×22n-1, ⋯⋯①4Sn=1×23+2×25+3×27+⋯+n-1×22n-1+n×22n+1, ⋯⋯②①-②得:-3Sn=21+23+25+27+⋯+22n-1-n×22n+1=2×1-4n1-4-n×22n+1=22n+13-23-n×22n+1,所以Sn=3n-1×22n+1+29.20.(1)由bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数知b5=6,b4=4,设an的公比为q,则由S3=7,得a1+a2+a3=7,即a1+a1q+a1q2=7, ⋯⋯①又a32=a2⋅a4=b42=16,所以a3=4,a1q2=4, ⋯⋯②由①②消去a1得3q2-4q-4=0,解得q=2或q=-23(舍去),将q=2代入②得a1=1,所以an=2n-1.(2)当n为偶数时,有Tn=1+1⋅20+2⋅21+3+1⋅22+4⋅23+5+1⋅24+⋯+n-1+1⋅2n-2+n⋅2n-1=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n-1+20+22+⋯+2n-2,令Hn=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n-1,则2Hn=21+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+n⋅2n,作差得-Hn=20+21+22+23+⋯+2n-1-n⋅2n=1-2n1-2-n⋅2n=1-n2n-1,故Hn=n-12n+1,所以Tn=Hn+1-4n21-4=n-12n+1+13⋅2n-13=n-232n+23,当n为奇数且n≥3时,有Tn=Tn-1+n+12n-1=n-532n-1+23+n+12n-1=2n-232n-1+23;经检验知T1=2符合上式,所以Tn=2n-232n-1+23,n 为奇数,n-232n+23,n 为偶数.21.(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有-D2-E+1=0,4-2E+F=0,10+3D+E+F=0,解得D=-6,E=4,F=4,所以圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C3,-2必在l上,所以l的斜率kPC=-2,而kAB=a=-1kPC,学科网(北京)股份有限公司
所以a=12,把直线ax-y+1=0即y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得a2+1x2+6a-1x+9=0,由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,故Δ=36a-12-36a2+1>0,即-2a>0,解得a<0,则实数a的取值范围是-∞,0,由于12∉-∞,0,故不存在实数a,使得过点P2,0的直线l垂直平分弦AB.22.(1)由长轴的两个端点分别为A-2,0,B2,0,可得a=2,由离心率为32,可得ca=32,所以c=3,又a2=b2+c2,解得b=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设直线l的方程为x=my+1,由x=my+1,x24+y2=1得m2+4y2+2my-3=0,设Mx1,y1,Nx2,y2,则y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4,所以kAM=y1x1+2,直线AM的方程为y=y1x1+2x+2,所以Q4,6y1x1+2所以kNB=y2-0x2-2=y2x2-2,kBQ=6y1x1+2-04-2=6y1x1+22=3y1x1+2所以kNB-kBQ=y2x2-2-3y1x1+2=y2x1+2-3y1x2-2x2-2x1+2=y2my1+3-3y1my2-1x2-2x1+2=-2my1y2+3y1+y2x2-2x1+2=0,即kNB=kBQ,所以N,B,Q三点共线,所以S△MBNS△MBQ=∣BN∣∣BQ∣.学科网(北京)股份有限公司
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