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湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试题(Word版含解析)

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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列不属于的展开式的项的是()A.B.C.D.解析:展开式中的系数应为,故不属于展开式的项,选择B选项2.已知集合.其中,若满足,则的取值范围为()A.B.C.D.解析:设则,同时将集合转化得将以上条件整理得的解集应该含于,其中,即且满足由根的分布规律可得故选C3.已知复数,与共轭,,且则的值为()A.5B.6C.7D.8解析:本题考察复数和椭圆的知识,根据复数和椭圆的基本知识可得,即为椭圆焦点三角形周长的值,故 故选D4.已知三边所对角分别为,且,则的值为()A.-1B.0C.1D.以上选项均不正确解析:将由余弦定理变换得由正弦定理得,三角变换得,即变形得,两边同时乘以得故选B5.已知正项数列满足,且,为前100项和,下列说法正确的是()A.B.C.D.解析:令,则可得,故将两边同除得为递减数列可得,累乘可得,根据等比数列求和公式得 综上,,选择C选项6.长沙市雅礼中学(雅礼)、华中师范大学第一附属中学(华一)、河南省实验中学(省实验)三校参加华中名校杯羽毛球团体赛.这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测:罗老师:雅礼是第二名或第三名,华一不是第三名;魏老师:华一是第一名或第二名,雅礼不是第一名;贾老师:华一是第三名;关老师:省实验不是第一名;其中只有一位老师预测对了,则正确的是()A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师根据假设法推理,可得贾老师预测正确,选择C选项7.若,()试比较的大小关系()A.B.C.D.解析:由得,故,故由常用数据得,综上,故选D8.已知双曲线,若过点能作该双曲线的两条切线,则该双曲线离心率取值范围为()A.B.C.D.以上选项均不正确解析:过能作两条切线说明该点在双曲线外部,且不在该双曲线渐近线上临界情况时,点在双曲线上,代入得。当渐近线经过点时, 综上,,故选D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲,岳麓山,天心阁,开福寺四个景点,一位游客来长沙市游览.已知该游客游览橘子洲的概率为,游览其他景点的概率都是.该游客是否游览这四个景点相互独立,用随机变量X记录该游客游览的景点数,下列说法正确的是()A.游客至多游览一个景点的概率为B.C.D.解析:略择选ABD选项10.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列(或者说,可以对这个集合的元素标号表示为),则称其为可列集.下列集合属于可列集的有()A.B.ZC.QD.R解析:令即可表示所有自然数,故集合N可标号表示为,故为可列集,同理,Z为可列集对于Q,由于其区间可由可列个区间组成,故可只讨论区间内的情况。令,当分母为1时,分子只有一种取值,故记作,同理综上,集合Q可标号表示为,故Q为可列集故选ABC11.已知某四面体的四条棱长度为,另外两条棱长度为,则下列说法正确的是() A.若且该四面体的侧面存在正三角形,则B.若且该四面体的侧面存在正三角形,则四面体的体积C.若且该四面体的对棱均相等,则四面体的体积D.对任意,记侧面存在正三角形时四面体的体积为,记对棱均相等时四面体的体积为,恒有解析:A只需判断临界情况,易得A正确,同理,易得B错误,应为对于C,可将四面体补体成为一个长宽高分别为的长方体,由四面体体积规律得,由基本不等式得,故C正确对于D,同C可得,即。同时易得要使,只需即,故时D正确综上,选ACD12.已知函数,下列说法不正确的是()A.当时,函数仅有一个零点B.对于,函数都存在极值点C.当时,,函数不存在极值点D.,使函数都存在3个极值点 解析:易得ABD错误,选择ABD选项。三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则的最大值为______.解析:依题可变形得即圆与直线有交点运用点到直线距离公式可得14.已知向量与的夹角为,且,,若与的夹角为锐角,则的取值范围是______.解析:依题,()且和不共线,即综上,解得15.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点(在同一象限内),且满足.联结,满足.若该双曲线的离心率为,求的值________.解析:设,由得,化简得(1),又在渐近线上,即.两边平方得(2)在双曲线上,所以,即.代入(1)解得 将和代入(2)得化简得,解得,即.化简得16.若不等式恒成立,则的最大值为_______.解析:原不等式可变形为,故为直线的横截距,又知曲线和轴唯一交点为,根据一直一曲图像规律,可知四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义(1)证明:(2)解方程:解析:(1)而联立两式可得即(2)注意到若,解得若,则记则在单调递增,在单调递减 而∴有且仅有三个零点,有三个实根,且均位于区间内记三个实根分别为由(1)知∴解得综上所述,方程的解集为18.已知单调递减正数列,时满足.,为前n项和.(1)求的通项公式(2)证明:(1)由得即由单调递减得则,即故是以2为首项,1为公差的等差数列则,即 (2)要证只需证即证即证即证即证而此式为显然.证毕19.如图,在以P,A,B,C,D为顶点的五面体中,四边形ABCD为等腰梯形,,,平面平面,.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.(1)由面面垂直的性质得到平面,由面面垂直的判定即可证明; (2)过作,,垂足分别为,,连接,由几何法可证即为二面角的平面角,过作平面,以为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可.(1)因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面.(2)过作,,垂足分别为,,连接,因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,又平面,所以,又,且,,平面,所以平面,因为平面,所以,即即为二面角的平面角,不妨设,则可知,且,,因为,所以,所以,过作平面,以为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,, 设平面的法向量为,则,令,则,,所以,设直线PD与平面PBC所成角为,则,直线PD与平面PBC所成角的正弦值为20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段,将1000只动物平均分成100组,任选一组进行试验.第一轮注射,对该组的每只动物都注射一次,若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体,说明疫苗有效,试验终止;否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射,再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体,说明疫苗有效,否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立,两次注射疫苗互不影响,且产生抗体的概率均为.(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含的多项式表示);(2)记该组动物需要注射次数的数学期望为,求证:(1)易得(2)由(1)得当时,由此可得综上得证21.已知平面直角坐标系中有两点,且曲线上的任意一点P都满足.(1)求曲线的轨迹方程并画出草图;(2)设曲线与交于顺时针排列的S、T、M、N四点,求 的值.(1)(草图要求经过所有整点且形状大致正确)(2)联立得则由对称性知S、T、M、N四点横纵坐标的绝对值相等,分别记为则又∴22.已知函数,且.(1)若,且在R上单调递增,求的取值范围(2)若图象上存在两条互相垂直的切线,求的最大值(1)由题知,则得即有(2)由,令,由,得 ,所以由题意可知,存在,使得,只需要,即,所以,,所以的最大值为.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-03 11:46:03 页数:13
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文章作者:随遇而安

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