湖南省2022-2023学年高三数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2023年湖南省高三联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（），A．B．C．D．2．若，则（）A．B．C．D．3．在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（）A．3B．C．D．44．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24h降雨量的等级划分如下表：等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm，如图所示，则这24h降雨量的等级是（）A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨5．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是（）A．B．C．D． 6．在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（）A．B．C．D．7．正方体的棱长为1，点P在三棱锥的表面上运动，且，则点P轨迹的长度是（）A．B．C．D．8．设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是（）A．B．函数的最小正周期为C．函数的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到10．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．11．过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（）A．B．三点A、O、共线C．原点O可能是△PAB的重心D．△OBF不可能是正三角形．12．已知函数，其中a，b，，，则下列结论正确的是（） A．B．C．在R上单调递减D．最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，二项式系数之和为32，则展开式中项的系数为________．14．已知某食品每袋的质量，现随机抽取10000袋这种食品，则质量在区间的食品约________袋（质量单位：g）．附：，则，，．15．已知过原点的直线l与双曲线C：的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且．若满足的点P也在双曲线C上，则C的离心率为________．16．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：．18．（12分）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，侧面PAB的面积为． （1）证明：平面平面ABCD；（2）点M在棱PC上，当三棱锥的体积为时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，，，．（1）当四边形ABCD内接于圆O时，求角C；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长．21．（12分）已知椭圆E：的离心率为，A，B是它的左、右顶点，过点的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，△MAB的最大面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）设是直线AM与直线BN的交点．（i）证明m为定值；（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．22．（12分）已知函数，．（1）比较，的大小，并说明理由；（2）已知函数的两个零点为，，证明：．2023年湖南省高三联考试题参考答案数学1．【答案】D【解析】，，则．故选D2．【答案】C 【解析】．故选C3．【答案】A【解析】以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，且边长为3，所以，，，，所以，，所以．故选A4．【答案】B【解析】因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分水面的半径为，故积水量，所以此次降雨在平地上积水的原度，因为，所以这一天的雨水属于中雨．故选B5．【答案】A【解析】从8个点中任取3个点，共有种情况，这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种情况，则所求的概率．故选A．6．【答案】B【解析】由正弦定理得，所以，所以．故选B7．【答案】A 【解析】由题设知点P在以为球心，半径的球面上，所以点P的轨迹就是该球与三棱锥的表面的交线．由正方体性质易知点到平面的距离，所以球在平面上的截面圆的半径，截面圆的圆心是正中心，正的边长为，其内切圆的半径．因此，点P在面内的轨迹是圆在内的弧长，如图所示．，所以，从而，故点P在此面内的轨迹长度为．因为平面ABCD，所以球在平面ABCD上的截面圆心为A，其半径，又，所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧，如图所示，，所以，从而，所以．由于对称性，点P在平面和平面内的轨迹长度都是， 故点P在三棱锥的表面上的轨迹的长度是．故选A8．【答案】D【解析】构造函数，因为，所以，所以为奇函数．当时，，在上单调递減，所以在R上单调递减．因为，所以，即，所以，即．故选D9．【答案】ABD【解析】，所以A正确；对于B，函数的最小正周期为，所以B正确；对于C，由，得，，所以函数的对称轴方程为，，所以C错误；对于D，的图象向右平移，得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确．故选ABD10．【答案】AC【解析】若，因为，所以，，则与矛盾，若，因为，所以，，则，与矛盾，所以，故A正确；因为，则，所以，故B错误； 由，故C正确；而，故D错误．故选AC11．【答案】ABD【解析】由抛物线定义知，又l平分，所以，从而，即，所以A正确；设，，AB方程为，代入C方程得，则，，故的坐标是，从而，所以A、O、三点共线，即B正确；若原点O是△PAB的重心，则，即，而，因为，所以，故C错误；因为，所以△OBF不可能是正三角形，故D正确．故选ABD12．【答案】AB【解析】因为，即，又a，b，，所以，．由，令，则在R上递减，且，所以，，故A，B正确；取，，，则，所以C错误；令，，，则，今，，则 ，而，所以，所以D错误．故选AB13．【答案】1080【解析】由题可知，解得，则的通项为，令，解得，则系数为．故答案为108014．【答案】8186【解析】由题意得：，，则，故，则袋装质量在区间的食品约有（袋）．故答案为818615．【答案】【解析】设左焦点为，，则，连接，，则，．由易知四边形为矩形．在中，，即，化简得．在中，，即，将代入（*）式得，即． 故答案为16．【答案】【解析】由得，即．令，则在上单调递增，且，所以对恒成立，即对恒成立．令，则，所以当时，；当时，，故在上的极大值是，即最大值是，所以，即实数m的最小值是．17．【解析】（1）依题意可得，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．（2）证明：由（1）可知，所以，，所以成立．18．【解析】（1）设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，根据题意，，．记“明获胜”，则有，，，由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为，所以小明获胜的概率为0.375．（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为 ，即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．19．【解析】（1）由侧面PAD的面积为，得，又，，所以，从而，即，又，故平面PAD，而平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）取AD的中点O，连接OP，因为，所以，由（1），平面平面ABCD，而平面PAD，平面平面，所以平面ABCD．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，设，则．设，即，所以，从而，，故，于是，又，，设是平面PAB的一个法向量，则即取，得，设直线AM与平面PAB所成的角为，则， 即直线AM与平面PAB所成的角的正弦值为．20．【解析】（1）连接BD，由余弦定理可得：，，所以．又四边形ABCD内接于圆O，所以，所以，化简可得，又，所以．（2）设四边形ABCD的面积为S，则，又，所以即平方后相加得，即，又，所以时，有最大值，即S有最大值．此时，，代入得．又，所以．在△BCD中，可得：，即．21．【解析】（1）设椭圆E的焦距为2c，由题设知，且当点M在椭圆E的短轴端点处时△MAB的面积最大，所以，即．又，从而解得，，故椭圆E的方程为．（2）由（1）知，，，由题意可设直线l的方程为，因为点在椭圆E内，直线l与E总相交，由得 ，设，，则，，（i）由P，A，M共线，得，①由P，B，N共线，得，②则由①÷②得，③又，所以，④将④代入③，得所以．（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，证明如下：点B在以线段MN为直径的圆内为钝角，⑤因为，，所以，由①、④，有，故，而2，从而，即⑤成立，所以点B一定在以MN为直径的圆内．22．【解析】（1）令，则，所以，当，；当时，，令，在上单调递减，所以，，即，所以在上单调递减，所以，，即当时，；同理可得，当时，．综上：当时，；当时，；当时，． （2）先证明：．不妨令．因为定义域为，，令得．所以，当，，单调递减，当时，，单调递增，从而．记的两个零点分别为，，且，因为图象是关于直线对称的抛物线，所以，又由（1）可知，，所以．下面再证．由于，故有，，因此，而，所以，故有．构造函数，，．令，，在内单调递增，在上单调递减，从而有．综上可知．