浙江省Z20名校联盟2023届高三数学上学期第二次联考试题（Word版附解析）

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第二次联考数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出，求出交集.【详解】，，故.故选：D2.若（为虚数单位），则（）A.5B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，进而可求解模长.【详解】由得，所以，故选：B3.已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（）A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差不相同C.两组样本数据的极差相同D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为【答案】C【解析】 【分析】根据平均数、方差和极差的计算公式判断即可.【详解】因为，所以，故A错；，所以两组样本数据的方差相同，故B错；新的样本数据的极差=，所以两组样本数据的极差相同，故C正确；样本容量为20的新的样本数据的平均数为，故D错.故选：C.4.已知多项式，则（）A.11B.74C.86D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可.【详解】对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.5.已知是边长为1的正三角形，，，则（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示： 因为，根据上图可知故选：A6.已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由线面平行的判定定理证得面，从而得到，再结合锥体的体积公式即可得解.【详解】因为在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，故，又面，面，所以面，因为是线段上的动点，所以到面的距离与到面的距离相等，所以故选：B. .7.已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为，直角的直角顶点在圆上，所以有，因为直角的直角顶点为，所以点A在以为直径圆上，因此圆心坐标为，半径为，因为点在圆上，所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，所以有，故选：C8.已知，，（为自然对数的底数），则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得.【详解】因为，所以，又，，所以，设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数函数单调递减，所以，，所以，即，所以.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（）A.2B.3C.4D.5【答案】BCD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，利用方程的根与公共点的个数之间的关系使即可求得的取值范围.【详解】联立直线和抛物线方程，消去得，，由抛物线与直线有公共点，所以方程有实数根； 即，解得或（舍）因此的值可以是3，4，5.故选：BCD10.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A.的周期为B.为奇函数C.的图象关于点对称D.当时，的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.详解】函数，对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；对于B选项：函数的定义域为，，则函数是上的偶函数，所以B选项错误；由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：， 即函数，对于C选项：令（），解得：（），当时，，此时，即函数的图象关于点对称，所以C选项正确；对于D选项：当时，，由余弦函数的图象和性质得：，即，所以D选项错误；故选：AC.11.新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（）A.每100人必有1人患有新冠B.若，则事件与事件相互独立C.若,则某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999D.若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001【答案】BD【解析】【分析】根据相互独立事件，对立事件和条件概率的计算公式逐项进行判断即可求解.【详解】因为表示每100人大约由1人患有新冠，故选项错误；因为，所以，又因为，由条件概率计算公式可得：，若，则，因为，所以事件与事 件相互独立，则事件与事件相互独立，故选项正确；由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率，故选项错误；某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，因为，所以，故选项正确，故选：.12.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的周期为2D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数为偶函数集合图象变换可推出为偶函数，即得，利用特殊值判断A；对进行变形处理即可判断其对称性从而判断B；由为偶函数，且，代换处理即可判断C；根据的周期即周期内的特殊值关系得，，化简可判断D.【详解】解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得，则函数关于直线对称，即为偶函数，所以，则，所以，即 ，令得，，所以，故A正确；对于B，由可得，当时，，即，令，则，所以，所以函数函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为为偶函数，则，又，所以，则，所以，即，则，所以函数的周期为4，故C不正确；对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性结合合理赋值确定函数的对称性及周期性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，且，则______.【答案】0【解析】【分析】由，可得，据此可得答案.详解】因，则，，又由换底公式推论可得，设，则，故，由换底公式，则.故答案为：014.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______.【答案】1或【解析】【分析】由正弦定理结合题设推得，利用条件解方程可得答案.【详解】在中，由正弦定理得,而，故，结合可得即有，由，可得， 整理得，解得或，故或，符合题意，故答案为：1或15.已知实数，满足，则的最小值是______.【答案】9【解析】【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】由已知条件得，∵，∴，又∵，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立.故答案为：9.16.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】引入椭圆的另一个焦点，根据椭圆的对称性，将转化为焦点三角形的面积问题进行处理即可.【详解】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性： ，于是四边形为平行四边形，由，故，记，根据椭圆定义，，在中，根据余弦定理：，即，对两边平方，，故，显然，根据三角形的面积公式：，由，即，不等式两边同时除以，整理得到，结合椭圆离心率范围解得；另一方面，由余弦定理结合基本不等式：，解得.于是，. 故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，从而求得数列的通项公式；（2）利用(1)求，结合等比数列通项公式求得的表达式，然后利用错位相减法求解即可．【小问1详解】由可得，①，②由可得：，，，又数列为正项数列，所以，因为，所以，所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，故.【小问2详解】 由(1)得：，又，，所以，∵数列为等比数列，设其公比为，则，所以，所以，则，③，④得：，则.18.已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，利用余弦的定义求解即可；（2）设，在中利用三角函数的定义及三角恒等变换求解即可.【小问1详解】如图，连接，在中，，，，则， 在中，，所以.【小问2详解】设，易知，在中，①，因为，所以，则，代入①式可得的取值范围为.19.“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.（1）根据以上数据，填空下述列联表：甲组乙组合计男生女生合计（2）根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?（3）现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数的概率分布列及其数学期望.参考公式：，其中为样本容量.参考数据： 0.500.050.010.4553.8416.635【答案】（1）列联表见解析（2）有95%的把握（3）分布列见解析，【解析】【分析】(1)根据已知条件填列联表;(2)计算,与表格数据比较,判断即可;(3)先应用分层抽样确定男女生人数，再应用古典概型计算概率，列出分布列，再求出数学期望.【小问1详解】列联表甲组乙组合计男生183250女生302050合计4852100【小问2详解】零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关由列联表可得；有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.【小问3详解】按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人，，∴概率分布列为123 数学期望.20.如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理即得；（2）方法一，延长与交于，由题可得面面，过作，过作，进而可得即为面与面所成二面角的平面角，结合条件即得；方法二，利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】连接，∵为中点，为中点，∴，又面，面，∴面， 在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F为AB中点，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；【小问2详解】解法一：延长与交于，连，则面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面内过作，则面，∵面，∴，过作，连，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即为面与面所成二面角的平面角， ∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.解法二：在中，，，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又∵，，∴，以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，，， ，令，则，∴，设平面的法向量，，令，则，，∴，所以，∴平面与平面所成角的余弦值为.21.已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意表示出点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解.【小问1详解】设双曲线，易知.由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：，则，又，则解得， 则双曲线.【小问2详解】设直线的方程为：，（且），，.联立，消得：，，，，①，②联立①②，解得：.又，同理，，把它们代入，得，故，得证.22.已知为正实数，函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）求证：（）.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解； （2）根据（1）可得不等式可证，构建，利用导数证明，结合裂项相消法可证.【小问1详解】，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.综上所述：.【小问2详解】先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当时，有，则，即，即，则有，即，右侧不等式得证.下证左侧不等式，如下：构建，则在上恒成立，故在上单调递减，则， 即，可得，即，则有，即，∵，则，故，左侧得证.综上所述：不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．