浙江省Z20名校联盟2023届高三数学上学期第二次联考试题（Word版附答案）

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第二次联考数学试卷注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若（为虚数单位），则（）A.5B.C.D.3.已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（）A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差不相同C.两组样本数据的极差相同D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为4.已知多项式，则（）A.11B.74C.86D.5.已知是边长为1的正三角形，，，则（）A.B.C.D.16.已知正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.7.已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（） A.B.C.D.8.已知，，（为自然对数的底数），则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（）A.2B.3C.4D.510.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A.的周期为B.为奇函数C.的图象关于点对称D.当时，的取值范围为11.新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（）A.每100人必有1人患有新冠B.若，则事件与事件相互独立C.若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999D.若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.00112.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的周期为2D.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，且，则______.14.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，表示的面积，其公式为.若，，，则______.15.已知实数，满足，则的最小值是______.16.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知正项数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.18.（12分）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点A，B），过点作的垂线，垂足为.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.19.（12分）“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身 体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.（1）根据以上数据，填空下述列联表：甲组乙组合计男生女生合计（2）根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?（3）现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数的概率分布列及其数学期望.参考公式：，其中为样本容量.参考数据：0.500.500.010.4553.8416.63520.（12分）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：为定值. 22.（12分）已知为正实数，函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）求证：（，2，3，…）.Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第二次联考数学参考答案一、二选择题题号123456789101112选项DBCBABCABCDACBDABD三、填空题13.014.1或15.916.或四、解答题17.解析：（1）由可得①，②，由可得：，即，即，化简可得，可知数列为以1为首项，公差为2的等差数列，则.……5分（2）由（1）得：，∵数列为等比数列，∴，，则，则③，④，得：，则.……10分 18.解析：（1）如图，连接.在中，，，，则.在中，，所以.……6分（2）设，易知.在中，①，因为，所以，则，代入①式可得：的取值范围为：.……12分19.解析：（1）列联表甲组乙组合计男生183250女生302050合计4852100……3分（2）零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关由列联表可得；有95%的把握认为“甲组”用户与“性别”有关.……7分（3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人 ，，∴概率分布列为123数学期望.……12分20.解析：（1）连接，∵为中点，为中点，∴，∴面，面，∴面在中，，，，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴.∵F为AB中点，∴，，∴∵面，面，∴面∵，CF，面，∴平面平面.……5分（2）解法一：延长与交于，连，则面面.∵，，，∴面，∴面面.过作，则面，∵面，∴.过作，连，∵，面，面，∴面.∴，∴即为面与面所成二面角的平面角∵，，∴∵，，∴，，∴，∴，∴ ∴.……12分解法二：以为轴，为轴，过且垂直于面的射线为轴建立空间直角坐标系，，，，，则，∴设平面的法向量，，，令，则，∴设平面的法向量，，令,则，,∴，，∴平面与平面所成角的余弦值为.……12分 21.解析：（1）设双曲线，易知.由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：，则，又，则解得，则双曲线.……4分（2）设直线的方程为：，（且），，.联立，消得：，，，易得：①，②，联立①②，解得：.又，同理，，把它们代入，得，故， 得证.……12分22.解析：（1）.①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.……4分综上：.（2）先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当时，有，则，即，即，则有，即，右侧不等式得证.……8分下证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即.，则，故 ，左侧得证.综上，不等式成立.……12分（评分标准仅供参考，具体阅卷评分由阅卷学校商定）