广西南宁市第三中学2022-2023学年高二数学下学期期中考试试卷（Word版附解析）

南宁三中2022~2023学年度下学期高二期中考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，再由集合交集的运算即可求解.【详解】集合，集合，则，故选：D.2.若复数z满足，则（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3.设，则“”是“直线：与直线：平行” （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行；若与平行，则，解得或舍，故为充要条件，故选：C.4.记等差数列的前项和为，若，则（　　）A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的求和公式由求出，利用等差数列的性质可得答案.【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，所以.故选：A.5.函数在区间上的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据在上单调性求出最值即可【详解】由可得，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增， 所以的极小值，也为最小值为，故选：C6.已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积.【详解】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．所以点在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即，所以四边形的面积为．故选：B.7.已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.＋1D.＋1【答案】C【解析】【分析】由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l的方程，将F的坐标代入，求得a,b,c的关系式，进一步转化得到a,c的齐次关系式，转化为离心率e的方程求解即得.还可以从入手解决，更为简洁. 【详解】解法一：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为，可得直线l的方程为，令y＝0，可得，由题意可得，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由，可得e2－2e－2＝0，解得(舍去)，故选：C．解法二：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可知,即,两边平方，并结合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a,b,c的关系，进而得到a,c的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e的方程求解，是求离心率的常用方法.8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再比较大小即可.【详解】设函数，则，则在上是减函数，又，则，又因为，， ，所以，即．故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.故选：ACD.10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（）A.B.当且仅当时，取得最大值C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】由等比数列各项积的意义判断A，根据等比数列的通项公式结合A求出公比判断C，等比数列各项积的意义及所给条件判断B，由等比数列通项公式、等差数列求和公式计算可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；又，即，解得，故C正确；由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；因为，所以成立，故D正确.故选：ACD11.已知抛物线的焦点为F，点在C上，P为C上的一个动点，则（）A.C的准线方程为B.若，则的最小值为C.若，则的周长的最小值为11D.在x轴上存在点E，使得为钝角【答案】BC【解析】【分析】根据题意求出，即可求出准线，即可判断A；设点，，则，根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B；过点P作垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，再结合图象，即可求得的周长的最小值，即可判断C；设，再判断是否有解即可判断D.【详解】A选项：因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的方程为，所以C的准线方程为，故A错误；B选项：设点，，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故B正确；C选项：过点P作垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则，易知，，所以，所以的周长为，当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，所以的周长的最小值为11，故C正确；D选项：设，则，，所以，因为点在C上，所以，即，所以，所以，故不可能为钝角，故D错误.故选：BC. 12.已知函数分别与直线交于点A，B，则下列说法正确的（　　）A.的最小值为B.，使得曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行C.函数的最小值小于2D.若，则【答案】AB【解析】【分析】对于A：根据题意整理可得，构建，利用导数求最值分析判断；对于B：根据导数的几何意义分析可得，利用函数分析判断；对于C：构建，利用导数求其最值分析判断；对于D：整理可得：，分类讨论处理即可.【详解】设，对于A项：由题意可得，解得，所以，构建，则在上单调递增，且，当时，；当时，；则在单调递增，在上单调递减，所以， 故，即的最小值为，故A正确；对于B项：∵，，可得，，即函数在点处切线的斜率为，函数在点处切线的斜率为，令，整理得，故原题意等价于方程有根，构建，故原题意等价于有零点，因为，则有零点，故B正确；对于C项：构建，因为在上单调递增，且，，则存在，使得，整理得，当时，；当时，；则在上单调递减，在单调递增， 所以，（由于，故等号取不到），又因为，则，即函数的最小值大于2，故C错误；对于D项，∵，即整理得：，由可知：，则有：当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述；若，则，故D错误.故选：AB.【点睛】方法定睛：利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若探究极值点个数，则探求方程f′(x)＝0在所给范围内实根的个数．(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(4)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在代数式的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理通项，化简后，使得的指数幂为0，即可求得的值.【详解】的展开式的通项为： 令，解得，所以，的展开式中的常数项为.故答案为：-514.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．15.某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A表示“有男生”，事件表示“两名都是男生”，则，，故.故答案为：.16.已知函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围_________．【答案】【解析】 【分析】等价于有两不等实根，则与有两不同交点，再利用导数求出函数的单调区间即得解.【详解】解：由得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与有两不同交点，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；所以，又时，，所以当时，；时，，所以为使与有两不同交点，只需．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率.【答案】（1），第百分位数为（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为计算，再根据百分位数计算公式计算第百分位数；（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.【小问1详解】由频率分布直方图可得，，则，前3组的频率和为，第4组频率为，所以第百分位数位于第4组内，记第50百分位数为，则，解得，即第50百分位数为；【小问2详解】由频率分布直方图可知， 成绩在内的频率分别为，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在内的有1人，记为，成绩在内的有2人，记为，成绩在内的有3人，记为，则从成绩在内的6人随机抽取2人，共有：､､，共有15种，2人中至少有1人成绩在内，共有：､､，有12种，记事件“人中至少有1人成绩在内”，则.18.如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.【详解】（1）因为， 所以在中，由正弦定理，得，因为，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，，所以，在中，由正弦定理，所以；（2）在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，而所以，由，设，所以，所以，所以，因为， 所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19.在数列中，已知，.（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）计算，，得到等比数列的证明.（2）确定，，根据裂项相消法得到，代入不等式计算得到答案.【小问1详解】，得，，，故数列是以为首项，为公比的等比数列；【小问2详解】，故，故，，，即，即，，故，故使得最大整数为.20.如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点，平面平面. （1）求证：平面；（2）若，点为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，则平面；（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，将二面角的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.【小问1详解】证明：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面分别为中点，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.【小问2详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，设 设平面的法向量则即，则.设平面的法向量，设二面角的平面角为为锐角，所以.二面角的余弦值.21.已知椭圆，四点中恰有三点在上.（1）求的方程；（2）若圆的切线与交于点，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断 在上，进而求出结果；（2）先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.【小问1详解】由两点关于轴对称，可得经过两点.与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上，则解得故的方程为.【小问2详解】证明：当切线的斜率不存在时，得.当时，可得.，则.当时，同理可证.当切线的斜率存在时，设.因为与圆相切，所以圆心到的距离为，即.联立得.设，则. 由，得，则.综上，若圆的切线与交于点，则.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析.（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，两种情况，由导数得出单调性；（2）将变形为，构造函数，由其单调性得出，进而由导数得出的最大值，从而得出求实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以.当时，由，得，由，得，且，故的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，由，得，且，由，得，故的单调递增区间为，，单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.【小问2详解】 易知，.由，可得，所以恒成立，即恒成立.设，，则，所以在上单调递增.当时，，所以恒成立等价于恒成立，即对恒成立.设，，.当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即a的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将整理成的形式，构造函数，由其单调性以及得出，最后求出的最大值，得出a的取值范围.