广西南宁市第三中学2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版含解析）

南宁三中2022~2023学年度上学期高二期中考试数学试题2022.10一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，或，则（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【详解】由并集的定义可得或.故选A.2.已知，且，其中a，b为实数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:3.已知向量，，若，则（）A.B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为，且，所以，所以；故选：A4.已知过两点的直线与直线垂直，则的值（　）A.4B.－8C.2D.－1【答案】B【解析】【分析】由两直线的斜率乘积为得结论．【详解】因为直线与直线垂直，所以，．故选：B．5.直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A.2x＋3y－12＝0B.2x＋3y＋12＝0C.3x－2y－6＝0D.2x＋3y＋6＝0【答案】B【解析】【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B．6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（）A.二尺六寸B.二尺五寸C.一尺三寸D.一尺二寸【答案】A【解析】【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案.【详解】由题意可知，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，故为26（寸），即二尺六寸；故选：A.7.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【答案】B 【解析】【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．因为圆的圆心为，半径为，所以，故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B．8.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（）A.4B.C.8D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.【详解】解：直线过定点，最小时，，圆心到直线的距离，，因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，过点作交于点，则，在中，所以. 故选：D二、多选题（每小题5分，全部选项选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.是函数的一条对称轴D.是函数的对称中心【答案】ACD【解析】【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.【详解】由图知：，即，而，可得，A正确；且，可得，B错误； 为对称轴，C正确；由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；故选：ACD10.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（）A.y-2x的最大值为B.的最小值为1C.的最大值为1D.y-2x的最小值为【答案】BD【解析】【分析】转化圆的方程为，得到圆心、半径，转化为，当圆和直线相切时，取得最值，可判断AD；转化为，当直线和圆相切时，可判断BC.【详解】实数，满足方程，即满足，表示以为圆心，半径等于的圆.令，即，当圆和直线相切时，取得最值，由，求得，或，故的最大值为，最小值为，故A正确，D错误；由于表示圆上的点与原点连线的斜率，故当直线和圆相切时，取得最值，设过原点的切线方程为，即，由，求得，故的最大值为1，故B错误，C正确.故选：BD. 11.已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与直线的斜率之积为C.存在点满足D.若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，，A错；设，则，，所以，B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，，，则，，D正确． 故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．12.已知，是椭圆C：的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】设点坐标后由平面向量数量积的坐标运算得的取值范围，再由离心率的概念求解，【详解】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：AC三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点，直线l:，则点A到直线l的距离为______.【答案】【解析】【分析】利用点到直线距离公式，求解即可.【详解】点到直线的距离为.故答案为：. 14.已知圆，过作圆C的切线，则切线l的方程为______.【答案】或【解析】【分析】由点到直线的距离公式列式求解，【详解】圆C方程可化为，圆心，半径为1，当过的直线斜率不存在时，l的方程为，圆心到直线的距离为1，满足题意，当l的斜率存在时，设方程为，则，解得，则切线l的方程为，即，故答案为：或15.已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,当的中点为时,直线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据点差法和椭圆的离心率可求出，再根据的中点为，可得，由此可得直线的斜率，再根据点斜式，即可求出结果.【详解】由题可知直线的斜率存在；设,由于点都在椭圆上，所以①,②,，化简得； 又因为离心率为，所以，所以，即；又线段的中点为，所以，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．故答案为：.16.已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______.【答案】6【解析】【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.【详解】如图所示：由，得，则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，，则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故答案为：6.四、解答题（17题10分，18~22每题12分）17.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为且过点，（1）求椭圆的标准方程；（2）倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A､B两点，求线段AB的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合焦点位置，设椭圆方程，由条件列出关于的方程，解方程求，可得椭圆方程；（2）利用设而不求法，结合椭圆弦长公式进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：，依题意可得解方程得：， 所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，所以直线的方程为：，即，代入椭圆方程中，得，所以，方程的判别式，设，，所以，，因此.18.已知函数.（1）求的最大值和最小正周期T；（2）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且，求面积的最大值.【答案】（1）最大值，；（2）.【解析】【分析】（1）先将函数化简整理，得到，根据正弦函数的性质，即可求出最大值与最小正周期；（2）先由，求出；再根据余弦定理与基本不等式，得到，由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为， 所以当时，取得最大值；最小正周期；（2）因，由（1）得，即，所以；又为三角形内角，所以；因为，由余弦定理可得：，即，当且仅当时，取等号；所以；即面积的最大值为.【点睛】本题主要考查求三角函数的最值与最小正周期，考查求三角形面积的最值；熟记正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式等即可，属于常考题型.19.某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120分的学生有14人.（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩第75百分位数是多少？（精确到0.1）（3）现在从分数在115～120分的学生（男、女人数之比为1∶2）中任选2人，求至多含有1名男生的概率.【答案】（1），；（2）第75%分位数是116.7；（3）.【解析】 【分析】（1）（2）由频率分布直方图数据求解，（3）由古典概型的计算公式求解，【小问1详解】由频率分布直方图知分数在110～120分的频率为，所以，分数在120～125的频率为，所以人数为；【小问2详解】分数在120～130的频率为，分数在95～115的频率为，因此第75%分位数在115～120内，第75%分位数为：.【小问3详解】由频率分布直方图，分数在115～120分的学生数为，男生2人，女生4人，男生编号为，女生编号为，从中任取2人的基本事件有：共15个，至多含有1名男生的基本事件有：共14个，所以所求概率为.20.如图，四棱锥的底面是菱形，平面，、分别是、的中点，，，． （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，再由平面平面可得，得平面，可得证；（Ⅱ）由题意结合菱形的性质易知，，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，向量，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）连接，由菱形性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，∵平面，平面，∴，且，故平面，平面，∴.（Ⅱ）由题意结合菱形性质易知，，,，,满足，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，而，设直线与平面所成角为，则 .所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.21.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C:上运动.（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；（2）过曲线上一点，作的切线，切点分别为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相关点法转化求解，（2）由二倍角公式转化为求的最小值，设点坐标后求解，【小问1详解】设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为， 且点P是线段AB的中点，所以，.于是有，.①因为点A在圆上运动，即.②把①代入②，得，整理，得，所以点P的轨迹的方程为.【小问2详解】设，，由可知：，则，当最小时，最小.，，（当且仅当时取等号），，即的最小值为.22.已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程.（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】 【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出，计算，得到定值.【小问1详解】设椭圆的焦距为，则，解得故椭圆的方程为.【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线.联立整理得，则.因为，所以，则故为定值.