广西南宁市第二中学2022-2023学年高三数学（理）上学期1月期末试卷（Word版附解析）

南宁二中2023年1月高三数学试卷（理科）一、选择题1.已知全集，集合则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合，然后利用交集和补集的定义进行求解即可【详解】由可得，解得，所以，因为，所以，.故选：C.2.设、、、，则复数为实数的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法与复数的概念可得出结果.【详解】因为、、、且为实数，则.因此，复数为实数的充要条件是.故选：D.3.函数的定义域为（　　） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由已知得，解得且，所以函数的定义域为.故选：B4.在一组样本数据中，正整数a、b、c、d出现频率分别为，且，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过计算方差（标准差）来确定正确答案.【详解】样本数据的平均数，根据选项可知且，所以，样本数据的方差 由于，，，所以，所以，所以，所以最大时，方差最大，也即标准差最大，所以B选项正确.故选：B5.已知平面向量，且，则（　　）A.B.（0，0）C.D.（1，2）【答案】B【解析】【分析】根据求得，进而求得.【详解】由于，所以，所以.故选：B6.已知圆及直线，则直线l与圆C的位置关系是（　　）A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A 【解析】【分析】求出动直线过的定点，再判断定点与圆的位置关系作答.详解】直线，即，由解得，于是得直线l恒过定点，而当时，，因此点在圆C内，所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A7.已知函数的两个相邻的对称中心的间距为，现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数，则的一个可能取值为（　　）A.B.C.0D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出，再利用给定变换及奇函数求出作答.【详解】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为π，即有，则，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，而函数为奇函数，则，当时，，D正确，不存在整数k使得选项A，B，C成立.故选：D8.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.9.在中，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，逆用和角的余弦公式求出，再利用均值不等式求出最小值，结合恒成立的不等式求解作答.【详解】因为，则，即，在中，，因此，又，则，当且仅当，即时取等号，要使不等式恒成立，于是得，解得，所以实数t的取值范围是. 故选：A10.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：； 第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为29.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为76.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理结合条件即可求得正确答案. 【详解】由题可知，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因为在中，，所以.故选：D12.已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断出是的角平分线，然后结合三角形的内心、重心以及双曲线的定义等知识求得双曲线的离心率.【详解】因为，所以PH是的角平分线，又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，设的内切圆与轴的切点为，根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得，可知H为的重心， 设，由重心性质可得，即，又H为的内心，所以，因为，则，所以双曲线C的离心率.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，解题有两个方向，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得的关系式或的关系式，然后转化成离心率.二、填空题13.在展开式中，含的项的系数是___________.【答案】720【解析】【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案.【详解】根据乘法分配律可知，含的项的系数是：.故答案：14.是等差数列{}的前n项和，则n的值是___________.【答案】21【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】解：因为数列{}是等差数列，且，所以，解得，故答案为：2115.已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，两点，过，分别作的切线、，与交于点，，与轴的交点分别为，，则四边形的面积为______________．【答案】4【解析】【分析】求得焦点的坐标，直线的方程，与抛物线的方程联立，即可求出、两点坐标；由导数的几何意义，求得切线，的方程，求得交点的坐标，求得，的坐标，可得，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】解：抛物线的焦点为且直线的倾斜角为，则，所以直线方程为，即，设，，不妨设在第一象限，联立，消去得解得、，代入直线方程，则、，因为直线与抛物线相切于点，即，则，所以，同理可得，则可得直线方程为，即， 则其与轴交点，令，则，所以，直线的方程为，即，则其与轴交点，令，则，所以，所以，联立、的方程，解得，即点坐标为，．故答案为：．16.在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.【答案】【解析】【分析】先由平面，得出点为正方形对角线的交点，再由正方体中是等腰直角三角形，设是中点，则是的外心，取是中点，则三棱锥的外接球的球心在直线上，计算出和后得在的延长线上，求得球半径后可得表面积．【详解】解：如图所示： 平面，连接，又为正方形，点为正方形对角线的交点，则是等腰直角三角形，是直角顶点，设是中点，则是的外心，取是中点，则，而平面，平面，三棱锥的外接球的球心在直线上，由已知可计算，，在的延长线上，设，则由得，解得，，外接球表面积：．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求球的表面积，关键是确定球心位置求得球半径．利用三棱锥的性质可得球心位置，三棱锥外接球心一定在过各面外心且与该面垂直的直线上．三、解答题17.设，有三个条件：①是2与的等差中项；②，；③．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分）若数列的前n项和为，且______．（1）求数列的通项公式；（2）若是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选条件①时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件②时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件③时，利用与的关系可求出答案；（2）首先可得，然后利用错位相减法算出答案即可．【小问1详解】选条件①时，由于是2与的等差中项；所以，①当时，解得；当时，②，①②得：，整理得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项）， 所以；选条件②时，由于，；所以：，①，当时，，②，①②得：，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故（首项符合通项），所以；选条件③时，因为，所以当时，当时，因为时也满足，所以【小问2详解】若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得． 18.如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.（1）证明：B，E，D1，F四点共面；（2）若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明来证明B，E，D1，F四点共面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【小问1详解】取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，∴EG∥DC∥AB，且，∴四边形ABEG为平行四边形，故.又F是的中点，即，∴，故B，F，，E四点共面. 【小问2详解】连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），∴设面的一个法向量为，则，即，取，设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.19.2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说： “华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x123456收入y（百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）更适宜（2），65.35百万元（3）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）根据散点图确定正确答案.（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.【小问1详解】根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；【小问2详解】因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以所以.所以，即，所以.令，得，故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.【小问3详解】前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，所以X的分布列为： 012P所以.20.已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为、，离心率，P为椭圆上任意一点，的周长为6.（1）求椭圆C的标准方程：（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.(2)设直线的方程为并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得三角形的面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【小问1详解】设椭圆的方程为，由题可知.，联立，解得， 故椭圆C的方程为.【小问2详解】不妨设过点且斜率不为0的直线l方程为，设，则，联立，消x得，，即，由韦达定理有，直线1的方程为，令，得，将①②)代入上式得，则，又(当且仅当时取等)所以面积的最大值为【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数有两个不同的零点x1，x2.（1）当时，求证：；（2）求实数a的取值范围；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）构造函数，利用导数求得，进而证得不等式成立.（2）结合导数，先判断，然后结合的最小值为负数以及零点存在性定理求得的取值范围.【小问1详解】令，则.当时，所以在上单调递减.所以所以.【小问2详解】，当时，，此时f（x）为增函数，不合题意； 当时，，得，(舍)所以当，，f（x）单调递减；当，，f（x）单调递增.如果f（x）有两个不同的零点，必有，则，得，所以此时，又此时，故在（）有一个零点：由（1）知，时，，令，解得，故当时，，故当时，，故在）上有一个零点，所以f（x）有两个不同的零点时，a的取值范围为【点睛】利用导数研究函数的零点，首先要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.然后利用导数进行研究时，转化为极值、最值问进行求解，求解过程中要注意结合单调性以及零点存在性定理来进行判断.选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O． （1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|， 所以点P到直线MN的最大距离d，所以．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分，和讨论，即可求得不等式的解集；（2）求得二次函数最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于的不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，当时，令，即，所以；当时，此时恒成立，所以；当时，令，即，所以，所以不等式的解集为.（2）由二次函数， 知函数在取得最大值，因为，在处取得最小值2，所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.只需，即.【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.