上海市静安区2021-2022学年高考数学二模试题（Word版附解析）

2021学年第二学期高三数学学科适应性练习考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分1.已知集合，，则__________.【答案】【解析】【分析】直接由交集的概念计算即可.【详解】.故答案为：.2.已知复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】先由复数的运算求出，再求出的虚部即可.【详解】由可得，则的虚部为1.故答案为：1.3.双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】3【解析】【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 则焦点到其渐近线的距离是.故答案为：3.4.解指数方程：__________.【答案】或【解析】【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.【详解】由得，即，当即时，显然成立；当时，，解得；故方程的解为：或.故答案为：或.5.已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.【答案】【解析】【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.故答案为：.6.直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为__________.【答案】【解析】【分析】由方向向量得出斜率，再由该曲线的中心得出直线方程.【详解】因为直线l的方向向量，所以直线l的斜率 易知曲线的中心为所以，即故答案为：7.函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】直接由解出的范围，即可求出定义域.【详解】由，解得，则函数定义域为.故答案为：.8.若，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得结果.【详解】作出可行域，如图：由，得，则，由图可知，当直线经过点时，取得最小值. 所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据图形找到最优解是解题关键.9.若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.【答案】【解析】【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.【详解】令，由可得，则，则，则解得，故解集为.故答案为：.10.上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次.现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是__________.【答案】##0.4【解析】【分析】先由分组分配求出总情况，再计算出甲乙两人被分配到同一个场馆的情况，由古典概型求解即可.【详解】由题意知：总情况有种，其中甲乙两人被分配到同一个场馆情况有种，故甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是.故答案为：. 11.数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.【答案】##0.5【解析】【分析】先由递推关系式求出的周期，再由周期性求出即可.【详解】由题意知：，故是周期为3的周期数列，则.故答案为：.12.已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.【答案】1【解析】【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.【详解】当时，，则不成立；当，，取，，此时不成立；当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则， 对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；综上可得，故实数的最大值为1.故答案为：1.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（）A.58份B.50份C.32份D.19份【答案】C【解析】【分析】直接由分层抽样的概念计算求解即可.【详解】在延庆冬奥村投放的问卷数量是份.故选：C.14.设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.【详解】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出，比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分非必要条件.故选：A. 15.中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.【详解】解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.故选：B.16.在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以因为，，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°. （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°.由此我们可以计算出PO即棱锥的高，及底面菱形的面积，代入即可得到棱锥的体积.（2）求异面直线DE与PA所成角的大小有两种不同的思路：法一是以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.表示出空间中各个点的坐标，进而给出相关向量的坐标，然后利用异面直线的夹角的余弦等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，求出夹角；法二是取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF∥PA，则∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），然后解三角形FED求出夹角.【小问1详解】在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°.在中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，，而底面菱形的面积为.∴四棱锥P﹣ABCD体积.【小问2详解】解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系. 在中，于是，点A、B、D、P的坐标分别是，B（1，0，0），D（﹣1，0，0），.E是PB的中点，则，于是，.设的夹角为θ，有，，∴异面直线DE与PA所成角的大小是.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），在中，于是，在等腰中，，则.在等边和等边中，，∴异面直线DE与PA所成角的大小是. 【点睛】18.设函数.（1）若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；（2）设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质讨论出整点，再根据整点来求参即可；（2）通过化简求值得出角度，再根据向量数量积的定义和三角形的面积公式可得结果.【小问1详解】交点为，即，，又因为，所以取，所以或.【小问2详解】，因为，得，即或，或，又为锐角三角形，所以.，解得.所以. 19.某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费.一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）（1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）售价为9元时，利润最大为9万元【解析】【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式；（2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值.【小问1详解】由题意知，分公司一年利润L（万元）与售价x的函数关系式为；【小问2详解】，因为，所以，当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.20.如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上. （1）若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；（2）设中点为，求证：直线轴；（3）若是曲线上的动点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）设出点，表示出中点，代入抛物线方程求解即可；（2）设，求出中点代入抛物线，同理将中点代入抛物线，由一元二次方程及韦达定理得，即可得证；（3）当轴时，直接求出坐标计算面积即可；当的斜率存在时，用点坐标表示出直线方程，由弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，结合的范围即可求解.【小问1详解】设点，则，所以中点坐标为代入，得，所以，即； 【小问2详解】设，所以中点代入，得，同理，.所以，是方程的两根，由韦达定理：，又中点为，所以，所以，即直线轴；【小问3详解】当轴时，由对称性知，在轴上，则，所以化为，即，所以；当的斜率存在时，方程为，即，所以，又由（2）知，，则，所以.又点到直线的距离，故.又，得，故 ，由，.综上，，所以的面积的最大值为.21.若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.①()；②存在实数，使得对任意，有成立.（1）设，试判断是否具有“性质A”；（2）设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；（3）设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.【答案】（1）数列具有“性质A”，数列不具有“性质A”；（2）证明见解析，；（3）【解析】【分析】（1）结合二次函数性质求出，结合即可得数列具有“性质A”；由可得数列不具有“性质A”；（2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出，结合，即可证明并求出A的取值范围；（3）先由求得对成立，进而求得， 又且当时，，可得，即可求解.【小问1详解】，所以当时，有成立；又，所以，所以数列具有“性质A”；，所以，所以数列不具有“性质A”；【小问2详解】设公比为，则，解得或，又等比数列递增，则，则数列的通项公式，所以恒成立，又，所以对成立，所以数列具有“性质A”，且；【小问3详解】，由于数列具有“性质A”，则，即 ，整理得，得：，得对成立，所以，得，又当时，，且当时，，所以满足条件的的最大值，所以.