江苏省徐州市铜山区2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期期中学情调研高二数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则实数值为（）A.2B.4C.D.【答案】C【解析】【分析】利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得：.故选：C2.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用排列数的定义直接求得.【详解】由排列数的定义可得：故选：C3.3位男生和2位女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（）A.72B.60C.36D.3【答案】A【解析】【分析】先排3位男生，再将2位女生插入形成的4个空中即可.【详解】先排3位男生有种，再将2位女生插入形成的4个空中有中，故共有种.故选：A. 4.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（）A.3B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】先由底面半径为求出底面圆周长，再由侧面展开图为半圆求得母线长，进而由勾股定理求高即可.【详解】设圆锥的母线长为，由题意得底面圆的周长为，又侧面展开图为一个半圆，则，解得，故圆锥的高为.故选：A.5.设为正实数，若随机变量的分布列为，则（）A.3B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】先由概率和为1，求出a，再求.【详解】因为随机变量的分布列为，所以，解得：a=3.所以.故选：C 6.若展开式中项的系数是8，则实数的值是（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接求出含的项，再由项的系数是8解方程即可求出.【详解】由题意知：含的项为，又项的系数是8，则，解得.故选：D.7.如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的是（）A.､､､四点一定共面B.存在点，使得平面C.侧面与侧面的交线与直线相交D.三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】【分析】A.用反证法判断；B.在AD上取点G，使得AG=EC，当判断；C.利用线面平行的判定定理和性质定理判断；D.根据二面角为直二面角，由点E移动时，影响点B到AE的距离判断.【详解】A.假设､､､四点共面，则直线EC与BF共面，若EC与BF平行，又EC 与AD平行，则AD与BF平行，这与AD与BF相交矛盾；若EC与BF相交，设交点为Q，则Q即在平面BAD内，又在平面AECD内，则点Q在交线AD上，这与EC与AD平行矛盾，所以假设不成立，所以B、E、C、F不共面，故错误；B.如图所示：在AD上取点G，使得AG=EC，当时，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，则平面，故存在点，使得平面，故正确；C.设侧面与侧面的交线为l，因为，且面，面，所以面，则，所以，故错误；D.因为二面角为直二面角，当点E移动时，点B到AE的距离即三棱锥的高变化，而是定值，故三棱锥的体积不是定值，故错误；故选：B8.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的第80项为（）A.13B.14C.78D.91【答案】D 【解析】【分析】先由等差数列的求和公式判断出第80项为第13行的第2个数，再由二项展开式的系数规律求解即可.【详解】由图可知：第1行有1项，第2行有2项，每一行的项数构成等差数列，前行共有项，当时，，故第80项为第13行的第2个数，由二项展开式的系数规律可知第13行的第2个数为.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩服从正态分布，则下列说法正确的有（）（参考数据：①；②；③）A.的期望为100B.的方差为15C.这次考试成绩超过100分的约有500人D.【答案】AD【解析】【分析】根据题干正太分布的性质，求解出的数学期望、方差、标准差，结合正态分布三段区间的概率值，依次判断各项正误.【详解】数学考试成绩服从正态分布，故的期望为，方差为，标准差为，故A项正确，B项错误；对于选项C，因为的期望为，标准差为，则,则成绩超过100 分的约有人，故C项错误；对于选项D，,，,故D项正确.故选：AD.10.关于二项展开式，下列说法正确的是（）A.B.二项式系数和为C.展开式中系数最小的项为第1012项D【答案】BC【解析】【分析】通过赋值法，令即可判断A选项；令，即可判断D选项；由二项式系数和即可判断B选项；求出二项式系数和系数的关系，由二项式系数的增减性即可判断C选项.【详解】令，可得，故A错误；二项式的系数和为，B正确；由题意得，显然当为偶数时系数为正且等于二项式系数，当为奇数时系数为负且为二项式系数的相反数，由二项式系数的增减性知二项式系数中最大，则系数最小为，C正确；令，得，令，得，两式相减得，则，D错误.故选：BC.11.一批产品共有10件，其中有5件一等品，3件二等品，2件三等品，给出下列4个结论，其中正确的有（） A.从中一次性取3件，恰有一件一等品的概率是B.从中一次性取3件，则至少有一件一等品的概率是C.从中有放回的抽取3件产品，每次任取一件，则至少有一次取到一等品的概率为D.从中有放回的抽取3件产品，每次任取一件，用表示抽取3件产品中一等品的件数，则的方差为【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，分别求出一次性取3件一共有多少种数，再求恰有一件一等品有多少种数即可求解，对于选项B、C由间接法可求解，对于选项D，根据二项分布可求解.【详解】对于A，从中一次性取3件，恰有一件一等品的概率是，故A正确；对于B，从中一次性取3件，则至少有一件一等品的概率是，故B正确；对于C，从中有放回的抽取3件产品，每次任取一件，可知每次取到一等品的概率为，则至少有一次取到一等品的概率为，故C不正确；对于D,由题意可知随机变量服从二项分布，即，所以，故D正确.故选：ABD12.在长方体中，，，是线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.面 B.与所成角的最大值为C.与平面所成角的正切值的最大值为D.三棱锥的体积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】先证得面面即可判断A选项；由为与所成角，当与重合时，最大即可判断B选项；由即为与平面所成角，当时，正切值最大即可判断C选项；由，当与重合时，最大即可判断D选项.【详解】连接，由，得为平行四边形，则，又面，面，则面，同理可得面，又，则面面，又面，则面，A正确；由上知：，则即为与所成角，显然当与重合时，最大为，又，即与所成角的最值不大为，B错误；显然平面，连接，则即为与平面所成角， ，显然当最小时，正切值最大，时，最小，又，此时，故，即与平面所成角的正切值的最大值为，C正确；设到平面的距离为，由题意知：，又由平面得，，故，则当最大时，三棱锥的体积最大，由平面得，又，平面，，则平面，显然当与重合时，此时最大为，故，故三棱锥的体积的最大值为，D正确故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.___________.（用数字作答）【答案】【解析】 【分析】根据组合数公式计算即可.【详解】.故答案为：.14.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则___________.【答案】##0.5【解析】分析】先求出事件，再由条件概率计算即可.【详解】由题意得，则.故答案为：.15.2018年开始实施新高考考试方案，现模拟选科，其中语文､数学､英语为必选科目.物理､历史两科中选择一科，再从化学､生物､地理､政治四科中任选二科，组合成“3+1+2”模式.若小王同学在政治和化学这两科中至多选一科，则他选择的组合方式有___________种.（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】先考虑物理､历史两科中选择一科，再分情况考虑政治和化学这两科都不选和政治和化学这两科选一科，按照计数原理求解即可.【详解】第一步：先考虑物理､历史两科中选择一科有2种选法；第二步：若政治和化学这两科都不选，则选生物､地理，有1种选法；若政治和化学这两科选一科，则生物､地理也选一科，有种，故共有种.故答案为：10.16.在正六棱锥中，，，则此正六棱锥的侧面积为___________；该正六棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】①.；②. 【解析】【分析】第一空：取中点，连接，由勾股定理求得，再计算面积即可；第二空：求出棱锥的高，找出外接球球心，由勾股定理建立方程，解出外接球半径，由表面积公式求解即可.【详解】第一空：如图，易得侧面的六个三角形均为全等的等腰三角形，取中点，连接，则，，则，则侧面积为；第二空：连接，取中点，易得为正六边形的中心，连接，则平面，易得，则，易得外接球球心在上，连接，设外接球半径为，则，则，解得，则表面积为.故答案为：；.四､解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写字说明､证明过程或演算步骤17.有4个不同的小球，3个不同的盒子，把小球全部放入盒内.（1）总共有多少种放法？（2）恰有一个盒内有2个小球，有多少种放法？【答案】（1）81；（2）36【解析】【分析】（1）每个球都有3种方法，由分步乘法计数原理求解即可； （2）先从4个小球种取2个小球，放入一个盒内，剩下的2个小球放入另外2个盒子，1个盒子放1个球即可.【小问1详解】一个球一个球地放到盒子里，每个球都有3种方法，由分步乘法计数原理得，共有种；【小问2详解】4个小球中取2个有种，放入其中1个盒子内有种，剩下的2个小球放入剩下的2个盒子，只能1个盒子放1个球有种，故共有种.18.如图，在正方体中，､分别为､的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由平面，平面，证得平面平面，即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由夹角公式求出余弦值，再由平方关系计算正弦值即可.【小问1详解】 如图，取中点，连接，由､分别为､的中点，可得，平面，平面，则平面，，平面，平面，则平面，又，则平面平面，又平面，故平面；【小问2详解】如图，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则， 则，则二面角的正弦值为.19.请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大.已知在的展开式中，___________.（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；（2）求展开式中的所有有理项.（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.）【答案】（1），第五项（2）【解析】【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③根据有且只有第四项的二项式系数最大，求n值，均为.（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项；（2）将代入并写出展开式通项，再根据有偶数，从而可确定有理项．【小问1详解】由二项式知：展开式通项为，①第2项与第3项的二项式系数分别为、，故，∴，整理得，又，解得.②第2项与第3项的系数分别为，，则有，解得. ③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知.由上知：展开式通项为，当，有时，常数项为.【小问2详解】由上知：的展开项通项为，要求有理项，可知，∴有理项分别为，，，，即为20.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.（1）求甲恰好在第四局获胜概率是多少？（2）记表示比赛决出胜负时的总局数，求的分布列与期望.【答案】（1）（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据题意，分析甲在每局胜负情况即可求解.（2）根据题意先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.【小问1详解】由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是.【小问2详解】由题可知，的可能取值为2，3，4，5，,,, ;所以的分布列为：2345数学期望.21.如图所示，在四棱锥中，，，，且（1）求证：平面平面；（2）已知点是线段上的动点（不与点､重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.【答案】（1）见解析；（2）点在线段上满足【解析】【分析】（1）先由边的关系证得，结合，即可证得平面，进而证得平面平面；（2）取中点，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，设，表示出平面和平面的法向量，由夹角公式解出即可确定点的位置.【小问1详解】 连接，由，知，在中，，设的中点为，连接，则，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为正方形，所以，在中，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】在中，，所以，在中，过点作，垂足为，因为，所以为中点，所以，由（1）得平面，平面，则，平面，，则平面.以为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间坐标系， 则，设，则，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，所以，即，即，解得（舍）或，所以，当点在线段上满足时，使二面角的大小为.22.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜.”为了增强学生的防疫意识，某校组织了“增强防疫意识，强健自身体魄”知识竞赛活动.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，从该校参赛学生中随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.（1）求的值，并求这100名学生竞赛成绩的样本平均值（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，用（1 ）中的样本平均值表示，其中估计值为15，利用所得正态分布模型解决以下问题：①在竞赛活动中，按成绩从高到低分别设置一等奖，二等奖，三等奖和参与奖，若使该校有15.865%的学生获得一等奖，则获得一等奖的最低分数是多少？②若该校高二年级共有1000名学生参加了竞赛，且参加竞赛的学生分数相互独立，试问这1000名学生成绩不低于94分的学生数最有可能是多少？附：若，，，【答案】（1），样本平均值为64；（2）①79分；②23【解析】【分析】（1）直接由频率和为1解出，按照频率分布直方图平均数的求法直接求样本平均值即可；（2）①②直接由正态分布的对称性及所给区间概率求解即可.【小问1详解】由题意知：，解得，样本平均值为；【小问2详解】①由（1）知：，则，，要使该校有15.865%的学生获得一等奖，则获得一等奖的最低分数是79分；②易得，即，则，则成绩不低于94分的学生数为人，则成绩不低于94分的学生数最有可能是23人.