江苏省徐州市睢宁县2021-2022学年高二数学下学期线上期中试题（Word版附解析）

2021~2022学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1.已知直线的方向向量分别为，若，则等于（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故选：B2.已知，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：B3.第13届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有（）种A.30B.40C.180D.240【答案】C 【解析】【分析】先选出人，然后进行安排，从而求得不同的安排方案数.【详解】依题意，不同的安排方案有种.故选：C4.某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（）0123A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合概率和为以及已知条件求得，由此求得.【详解】依题意，解得，所以.故选：A5.如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（）A.1B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.6.已知，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的值求得，利用赋值法求得正确答案.【详解】，令得，令得，所以.故选：C7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成，其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有四个变爻的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，再根据独立重复试验的概率求得其值. 【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有四个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生四次的概率，故选：D8.如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算．【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误﹒故选：ABC．10.如图，某城市两地之间有整齐的方格形道路网，某同学从处沿道路走到处，他随机地选择一条沿街的最短路径，则下列说法正确的是（） A.他从处到达处有12种走法B.他从处到达处有35种走法C.他从处经过处到达处有18种走法D.他从处经过处到达处有30种走法【答案】BC【解析】【分析】根据组合数、分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】对于AB选项：向右次，向上次，故走法有种，B选项正确对于CD选项：到有种走法，到有种走法根据分步乘法计数原理可知，共有种走法，C选项正确.故选：BC11.下列命题中，正确的命题是（）A.已知，则B.已知随机变量服从二项分布，若，则C.设随机变量服从正态分布，若，则D.甲乘汽车，高铁前往目的地的概率分别为，汽车和高铁正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为．【答案】AC【解析】【分析】由排列组合、二项分布、正态分布、概率的乘法与加法公式对选项逐一判断 【详解】对于A，若，即，解得，故A正确，对于B，，得，故B错误，对于C，，故C正确，对于D，则甲正点到达目的地的概率，故D错误故选：AC12.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（）A.与所成的角是B.平面与平面所成的锐二面角余弦值是C.三棱锥的体积是D.与平面所成的角的正弦值是【答案】ACD【解析】【分析】由题意以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项A，B，D，直接由锥体的体积公式求出三棱锥的体积，判断选项C.【详解】由,可得,又平面故以分别为轴建立空间直角坐标系.则选项A.由 则,所以所以与所成的角是，故选项A正确.选项B.由题意为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，由，即，则取所以所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故选项B不正确.选项C.,故选项C正确.选项D.,设与平面所成的角为则，故选项D正确.故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13.某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为___________.【答案】10【解析】【分析】利用插空法，直接求解即可 【详解】利用插空法，由题意得，有4天不出去玩，会产生5个空，所以，不同的选法的种数为：；故答案：10【点睛】关键点睛：解题关键在于分析出4天不出去玩，会产生5个空，进而利用插空法求解，属于基础题14.如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则点到直线的距离为________．【答案】【解析】【分析】先求得，解三角形求得到直线的距离.【详解】依题意，，则由于是的中点，所以，由于是底面直径所对弧的中点，所以，由于，，所以平面，所以，所以，在三角形中，，是三角形的内角，所以，所以到直线的距离为. 故答案为：15.经过大数据分析，徐州高铁站春运期间每日客流量（单位：万人）服从正态分布，该车站每日可供出售的有座车票为万张，且仅在有座车票已经售馨后，才开始出售无座车票，若需要出售无座车票的概率为，则有座车票每日剩余量不超过万张的概率为________．【答案】【解析】【分析】设每日所售的票数为万张，分析可得，根据正态密度曲线的对称性求出的值，即为所求.【详解】设每日所售的票数为万张，若需要售出无座票，则，故，若有座车票每日剩余量不超过万张，则，因为，由正态密度曲线的对称性可得.故答案为：.16.在展开式中，第项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项．【答案】【解析】【分析】根据等差数列的知识求得，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于第项二项式系数依次成等差数列，所以，.展开式的通项公式为，令，整理得，由于， 所以，即常数项是第项.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．17题10分，其余每题12分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.当前，新冠疫情防控任务依然繁重，为了支援某市疫情防控，徐州市派出甲，乙，丙，丁，戊五个人赴该市三个地区协助新冠疫情防控工作，每个地区至少去一个人．（1）一共有多少种安排方法？（2）由于疫情需要甲，乙两人必须安排在同一地区，一共有多少种安排方法？【答案】（1）种（2）种【解析】【分析】（1）按先分组，后排序的方法求得不同的安排方法总数.（2）对甲、乙两人所在的组的人数进行分类讨论，由此求得不同的安排方法总数.【小问1详解】若按分组，则安排方法数有种.若按分组，则安排方法数有种.所以一共有种安排方法.【小问2详解】若甲、乙这组有人，则安排方法数有种，若甲、乙这组有人，则安排方法数有种，所以不同的安排方法总数为种.18.在的展开式中，各项二项式系数和为64．（1）求展开式中所有的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）、、、（2） 【解析】【分析】（1）、（2）根据二项式系数和求得，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中所有的有理项以及系数最大的项.【小问1详解】依题意，，二项式展开式的通项公式为.，，，所以有理项为、、、.【小问2详解】由（1）得展开式中系数最大的项为.19.如图，在三棱柱中，平面，，．（1）求证：平面；（2）记和的交点为，点在线段上，满足平面，求直线与平面 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据、可证结论成立；（2）根据平面，推出为的中点，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：利用空间向量可求出结果.【小问1详解】因为平面，所以，又，所以四边形为正方形，所以，因为，，所以，又，，所以平面，所以，因为，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，，，，， ，，，设平面的法向量，则，得，，令，得，所以，设直线与平面所成角的大小为，则，因为，所以.所以直线与平面所成角的大小为.20.第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，组委会需要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作（其中有3人两项工作都能胜任），现从中选3人做翻译工作．试求：（1）在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率；（2）在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）结合古典概型概率问题的计算公式，计算出所求概率.（2）结合超几何分布的知识求得的分布列以及数学期望.【小问1详解】依题意可知：有人只胜任英语翻译，有人只胜任法语翻译，有人两项工作都能胜任，所以从中选3人做翻译工作，在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率为.【小问2详解】的可能取值为， ，，分布列如下：数学期望为.21.如图：在直棱柱中，底面是边长为4的菱形，是上的动点（不含端点）．（1）当时，求的值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）连、交于，连、交于，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量可求出结果； （2）利用空间向量可求出结果【小问1详解】连、交于，连、交于，依题意可得两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，，，，，，，，，，，，设，则，所以，因为，所以，得，所以.【小问2详解】由（1）知，，，，设平面的法向量， 则，令，得，，所以，设平面的法向量，则，得，，令，得，则，设平面与平面所成锐二面角为，则，因为，所以，所以，所以，所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是.22.为了方便出行，缓解交通压力，保护环境，推进生态文明建设，市政府大力推行共享交通工具出行．某企业根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎．一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为，该企业为了促进市民消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分，每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）记某一市民已使用该企业共享交通工具的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．【答案】（1）分布列见解析，（2） 【解析】【分析】(1)X的取值为3,4,5,6，讨论每个取值的具体情况即可求出分布列和数学期望；(2)当得分为n-1时，下一个得分为2则与得分为n构成对立事件，利用对立事件的性质，可以求得与之间的关系.【小问1详解】X=3，则三人首次都是使用共享单车，，X=4，则有一人使用电动车，另外两人使用共享单车，，X=5，则有二人使用电动车，剩下一人使用共享单车，，X=6，则三人都使用电动车，，分布列为：X3456P(X)；【小问2详解】当得分为n-1时，其概率为，如果再得分为2（使用电动车），则得不到n分，所以即；综上，，与的关系为，.