江苏省无锡市太湖高级中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数，则的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】先求出导数，再计算即可.【详解】，则.故选：D.2.已知随机变量X满足，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据期望和方差公式，即可判断选项.【详解】，得，，.故选：C3.年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去人），则分配方法共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】B【解析】 【分析】设两家医院分别为甲医院与乙医院，对甲医院分配的人数进行讨论，结合分组计数原理可得结果.【详解】设两家医院分别为甲医院与乙医院，则甲医院分配的人数可以为或或，因此，不同的分配方法种数为种.故选：B.4.中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用条件概率计算公式即可求解.【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，则，，所以．故选：D.5.(，且)的展开式中的系数为（）A.150B.165C.120D.180【答案】B【解析】【分析】首先写出含的系数，再利用组合数的性质，即可求解.【详解】展开式中含的系数是.故选：B6.若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求出与直线平行的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．【详解】解：设与直线平行的直线与曲线切于，由定义域为，得，则，由，解得（舍去负值）．，则点到直线的最小距离是．故选：C．7.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B＝“从乙袋中任取一球是红球”，利用求解即可.【详解】设A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B＝“从乙袋中任取一球是红球”；.故选：A8.已知函数，，若存在使得，则的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，其中，利用导数求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，可得，其中，构造函数，其中，则，当时，，，此时，当时，，，此时，所以，函数的减区间为，增区间为，则，所以，，即.故选：B.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在处取得极大值C.函数在处取得极小值D.函数只有一个极值点【答案】BD【解析】【分析】由图象得出函数单调性以及极值.【详解】由导函数的图象可知，当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在出取得极大值.故选：BD10.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则.A.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲B.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近C.若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587D.若，则乙同学成绩低于80分概率约为0.3174【答案】BC【解析】【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项.【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误；B.甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确；C.，故C正确；D.，故D错误.故选：BC11.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各项系数和为1B.第2项的系数为80C.二项式系数和为32D.没有常数项 【答案】ACD【解析】【分析】由的展开项的通项逐一判断即可.【详解】的展开项的通项为令，则各项系数和为，故A正确；，故B错误；二项式系数和为，故C正确；因为，所以没有常数项，故D错误；故选：ACD12.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得最小值B.C.有两个不同的零点D.对任，函数有三个零点【答案】ABD【解析】【分析】对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断.【详解】根据题意，，令，解得；令，解得和；所以函数在单调递增，在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为； 对于A：当时，，当时，恒成立，所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确；对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即所以，故B正确；对于C：因为恒成立，所以令，即，解得，故函数只有一个零点，故C不正确；对于D：令，即在有三个零点，易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可，令，即函数与有两个不同交点即可，，令，解得，令，解得或，所以在单调递增，在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：，画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点，综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确. 故选：ABD.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知随机变量，若，则=___________.【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的性质可求的值.【详解】因为，故，故答案为：2. 14.现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为_________.【答案】【解析】【分析】从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品包括一件瑕疵品一件合格品、两件瑕疵品两种情况，分别求出概率可得答案.【详解】从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为，故答案为：.15.除以9的余数为_________.【答案】6【解析】【分析】首先原式变形为，再利用二项展开式，计算余数.【详解】所以除以9的余数为.故答案为：16.已知函数，则函数的最大值为_________；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.【答案】①.##②.【解析】【分析】①直接求导确定单调性，即可求出最大值；②先因式分解得到或，由函数图像得有两个不同的解，解不等式即可求出t的取值范围. 【详解】①定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，故是函数的极大值也是最大值；②当时，，当时，，当时，，由即，解得或，显然只有一个解，所以方程有两个不同的解，所以，解得，故t的取值范围为.故答案为：；.四、解答题:共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内做答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.现有大小相同的8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球.（1）将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（2）将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？（3）现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答)【答案】（1）432（2）2880（3）45【解析】【分析】（1）利用捆绑法可求不同排列的总数. （2）利用插空法可求不同排列的总数.（3）根据有两球同色分类后可求不同排列的总数.【小问1详解】把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有，2只不同的红球的排列有，3只不同的白球的排列有，3只不同的黑球的排列有，故不同的排列的总数为.【小问2详解】先把除黑球外的5只球全排列，共有种，再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种，故共有.【小问3详解】取4只球，若各种颜色的球都必须取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，故不同的取法总数为.18.给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知，___________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）和（2），，【解析】【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【小问1详解】二项展开式的通项公式为：.若选①，则由题得，∴，即，解得或(舍去)，∴.若选②，则由题得，∴，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，，.【小问2详解】由（1）可得二项展开式的通项公式为：.当即时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:，，.19.某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求和． 【答案】（1）分布列见解析；（2）；（3）；．【解析】【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，即可得答案.（2）先求得甲、乙都不被选中的概率，进而可得答案.（3）男生甲被选中，再从其他5人中选取2人，即可求得，男生甲和女生乙同时被选中，再从其他4人中选取1人，即可求得，代入条件概率公式，即可得答案.【详解】【解】（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得，，．的分布列为012P（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则；所求概率为；（3）；．．20.已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；（2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，令，即可求得的值；（2）由题可知，在上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.【详解】（1）由题可知，则，解得．（2）∵在上是减函数，∴对恒成立，所以，令，则由得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故只需故的取值范围是．【点睛】关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在上小于等于零恒成立，采用了参变分离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量分离的方法，是解题的关键，属于中档题．21.小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立.（1）小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率；（2）小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数 之和为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意由互斥事件的概率公式求解即可，（2）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后求对应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望【小问1详解】记“投篮次数不超过3次”为事件A，由题知∴小明停止时，投篮次数不超过3次的概率为.小问2详解】X的所有可能取值为0，1，2，3，4X的分布列如下表所示X01234P 22.已知函数.（1）若在处有极值，求实数的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值；（3）当时，证明.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用极值点的定义检验即可得解；（2）求得，对实数取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，可求得函数在上的最大值；（3）分析可知所证不等式为，利用导数求出函数的最小值大于零，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由题知的定义域为，,若在处有极值，则，得，检验，此时，列表如下： 增极大值减此时函数在处取得极大值，合乎题意，所以，.【小问2详解】解：当时，由，可得.①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，函数在上单调递减，则；②当时，即当时，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，；③当时，即当时，对任意，且不恒为零，函数在上单调递增，则.综上所述，.【小问3详解】解：当时，，要证，只要证，设，其中，则，令，则 ，所以，函数在上单调递增，，，所以，存在唯一的，使得，且，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，，故.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.