江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

江苏省天一中学2021-2022学年第二学期高二期中考试高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设全集，集合，则集合（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，即，则，解不等式得：，则，因此，，所以.故选：C2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】由，得，即，于是有，解得，因为“”不能推出“”，故充分性不成立；因为“”能推出“”，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.若的展开式中的系数为20，则实数（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】将展开，求出给定式子展开式中项，再列式计算作答.【详解】因，则的展开式中项为：，依题意，，解得，所以实数.故选：B4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.在区间内有3个极值点D.的图象在点处的切线的斜率小于0【答案】B【解析】【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误.【详解】由图象可知：当和时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减；对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确；对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.故选：B.5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（）色差x21232527色度y15181920A.B.C.0.8D.0.96【答案】C【解析】【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.【详解】由题意可知，，，将代入，即，解得，所以，当时，，所以该数据的残差为.故选：C.6.天一中学高二7班计划在今年五一国际劳动节当日安排6位同学到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A.35B.40C.50D.70 【答案】C【解析】【分析】根据不平均分组和平均分组及分配问题，结合排列数和组合数即可求解.【详解】由题意可知，6位同学分成两组，每组不少于2人的分组，可以是一组2人另一组4人或每组3人，所以不同的分配方案数为.故选：C.7.已知随机变量，且，则（）A.B.9C.21D.36【答案】D【解析】【分析】结合结合二项分布期望公式列方程求，再由二项分布方差公式和方差性质即可求．【详解】由题意，随机变量，可得，又由，解得，即随机变量，可得，所以，故选：D．8.已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，等价变形不等式，构造函数，利用其单调性在时建立恒成立的不等式，再分析的情况作答. 【详解】依题意，，，令，求导得：，时，，即上单调递增，当时，，，若，有，于是得，，令，求导得，则在上单调递增，，，因此，，当时，，，符合题意，则，所以a的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.的充要条件是C.D.是的充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C. 【详解】命题“”的否定是“”，A对，当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错，当时，，C错，由可得，所以是的充分条件，D对，故选：AD.10.给定函数．下列说法正确的有（）A.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B.函数的图象与x轴有两个交点C.当时，方程有两个不同的的解D.若方程只有一个解，则【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得函数图像，再数形结合,依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：，所以，时，，递减，时，，递增，故A正确；所以，，，时，，因此只在上有一个零点，它与只有一个交点，B错； 由上面讨论知时，递减，，时，递增，，作出图象和直线，如图，知当时，方程有两个不同的的解，C正确；由图可知若方程只有一个解，则或，D错误．故选：AC．11.2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是（）A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条C.小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则 【答案】BC【解析】【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，A：小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；D：由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故选：BC12.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.是正整数C.是的小数部分D.设，则【答案】ACD【解析】 【分析】利用的展开式求出计算判断A；取特值计算判断B；化简计算，分析结果判断C；分奇偶讨论计算、即可推理作答.【详解】对于A，，即，，，A正确；对于B，因不是正整数，B不正确；对于C，，展开式的通项，展开式的通项，当且为偶数时，，当且为奇数时，，此时偶数，是正整数，为正整数，为正整数，又，，所以是的小数部分，C正确；对于D，当为正偶数时，，，，则，，有， 因此，，当为正奇数时，，，，则，，有，因此，，综上得，，，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及二项式定理的问题，二项式定理的核心是通项公式，求出给定二项式的通项公式是解决问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知随机变量，则______．【答案】0.3【解析】【分析】正态曲线关于直线，即对称，根据其对称性，即可求出答案.【详解】因为，，又所以，根据正态曲线的对称性，可知.故答案为：0.314.已知，则____________．【答案】【解析】 【分析】利用赋值法分别将与带入原式求解即可.【详解】解：令，则①，令，则②，则①－②可得：，故答案为：15.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______．附：0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828【答案】0.025【解析】【分析】根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论．【详解】集中培训分散培训合计一次考过453075一次未考过102030合计5550105，故答案为：0.025． 16.已知，若是函数的零点，且，则的最小值是____________．【答案】-4【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，结合条件确定的正负，再求出的解析式，再利用导数求其最值.【详解】因为，所以，若时，，函数在上单调递增，所以函数至多只有一个零点，与条件矛盾，若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为函数有三个零点，且，所以，，且，所以，又，由零点存在性定理可得，所以，所以，与已知矛盾，若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为函数有三个零点，且，所以，，且， 所以，因为所以，且所以故解得故令，故在上单调递减，在上单调递增，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题解决的关键在于利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性确定的正负，并由此求出目标函数的解析式.四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在定义域内极值．【答案】（1）（2）函数的极大值为；极小值为；【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解;（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.【小问1详解】 由，得，所以，即切点为，所以函数在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知，的定义域为.因为，所以，令即，解得或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；18.已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：（1）若，求；（2）若______，求m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分． 【答案】（1）；（2）条件选择见解析，.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）选条件①，条件②，条件③可得，再利用集合的包含关系求解作答.【小问1详解】解不等式得：，则有，当时，，或，所以.【小问2详解】选条件①，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是.选条件②，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是.选条件③：，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是. 19.已知二项式，（且）．若、、成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）7．【解析】【分析】（1）根据二项式定理写出并化简，写出，由这三项成等差中项列出等式解出n，进而写出最中间项即可；（2）设最大，则，展开解出即可【详解】（1），则，，，由题意知，则，即，因为，所以.展开式的中间项是（2）设最大，则有 ，即，解得,又，∴或6所以的最大值为.20.某昆虫的产卵数y和温度x有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度x/20253035产卵数y/个520100325（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（数字保留2位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：， y5201003251.6134.615.78【答案】（1）模型更适宜（2）【解析】【分析】（1）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（2）对；两边取以为底的对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.【小问1详解】依散点图可知，随着温度的增大，昆虫的产卵数y的增长速度越来越快，故模型更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型．【小问2详解】因为，令，所以与可看成线性回归，，所以，所以，即，21.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分， 负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）【解析】【分析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123所以数学期望．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，因两队积分相等，所以，即，则，所以（A） ．22.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求k的取值范围；（3）设，求证：．【答案】（1）单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）代入，求出，再令求出其单调递增区间，令求出其单调递减区间；（2）求出，再分类讨论的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式.【小问1详解】当时，（），则，由，解得；由，解得，因此函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)【小问2详解】，故．当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．    当时，令，解得．当，，单调递增；当，，单调递减；于是，与恒成立相矛盾．综上，k的取值范围为．【小问3详解】由（2）知，当时，．令，则+，即，因此≤．所以.