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江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(Word版附解析)

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阶段性调研测试高二年级数学试题注意事项:1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上;2.考试时间为120分钟,试卷总分为150分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列选项中,与相等的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出的值,然后逐个求解判断即可【详解】,对于A,,所以A错误,对于B,,所以B错误,对于C,,所以C正确,对于D,,所以D错误,故选:C2.平行六面体中,,则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示,即得.【详解】设,∵,又,∴, 解得,即.故选:B.3.掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四面点数分别为),掷出点数的数学期望为()A.2B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率,由期望公式求解即可.【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子,掷出点数的可能取值为,且掷出每种点数的概率均为,则掷出点数的数学期望为,故选:B4.的展开式中,含的系数为()A.80B.C.40D.【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得展开式中含的系数.【详解】依题意可知,,故含系数为.故选:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5.在四面体中,,点在上,且为中点,则()A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算,空间向量基本定理求解即可.【详解】解:点在线段上,且,为中点,,,.故选:B.6.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是()A.36B.72C.600D.480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列,再将插空得到个.故选:.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法,意在考查学生的计算能力和应用能力.7.直三棱柱中,,则与所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示,以为原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系, 设,可得,,,.,故BM与AN所成角的余弦值为故选:A.8.甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测,到达检测点后,发现有两支正在等待检测的队伍,则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】C【解析】【分析】对该问题进行分类,分成以下情况①3人到队伍检测,②2人到队伍检测,③1人到队伍检测,④0人到队伍检测;然后,逐个计算后再相加即可求解;注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类:①3人到队伍检测,考虑三人在队的排队顺序,此时有种方案;②2人到队伍检测,同样要考虑两人在队的排队顺序,此时有种方案;③1人到队伍检测,要考虑两人在队的排队顺序,此时有种方案; ④0人到队伍检测,要考虑两人在队的排队顺序,此时有种方案;所以,甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种.故选:C二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列结论正确的是()A.乘积展开后共有2n项B.一个含有5个元素的集合有32个子集C.正十二边形对角线共有54条D.4名工人各自在3天中选择1天休息,不同方法的种数是43【答案】BC【解析】【分析】对于A,利用多项式的乘法分析判断,对于B,利用求子集个数的公式计算,对于C,利用多边形对角线条数的公式计算,对于D,由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A,乘积展开后共有项,所以A错误,对于B,一个含有5个元素的集合有个子集,所以B正确,对于C,正十二边形对角线共有条,所以C正确,对于D,由题意可得每名工人有3种休息方法,所以4名工人共有种休息方法,所以D错误,故选:BC10.下列命题是真命题的有()A.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面B.直线l的方向向量为,直线m的方向向量为,则l与m垂直C.直线l的方向向量为,平面α的法向量为,则l⊥αD.平面α经过三点是平面α法向量,则 【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A,若不能构成空间的一个基底,则共面,可得A,B,M,N共面,A正确;对于B,,故,可得l与m垂直,B正确;对于C,,故,可得l在α内或,C错误;对于D,,易知,故,故,D正确.故选:ABD.11.下列命题中,正确的是()A.若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B独立B.已知随机变量X的方差为,则=C.已知随机变量X服从二项分布,则E(X)=2D.已知随机变量X服从正态分布,若,则【答案】BCD【解析】【分析】对A:由互斥事件与独立事件的定义即可判断;对B:由方差的性质即可判断;对C:由二项分布的期望公式即可判断;对D:利用正态分布的对称性即可判断.【详解】解:对A:由互斥事件与独立事件的定义,设事件A、B都是概率不为0的事件,若事件A与事件B是互斥事件,则,而若事件A与事件B是相互独立事件,则,故选项A错误;对B:由方差的性质可知,随机变量X的方差为,则=,故选项B正确; 对C:由随机变量X服从二项分布,则,故选项C正确;对D:由随机变量X服从正态分布,,则,故选项D正确.故选:BCD.12.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置,连接PC,在翻折过程中,下列说法正确的是()A.任取三棱锥P-BCD中的三条棱,它们共面的概率为0.2B.存在某个位置,使得PC与BD所成角为60°C.PC与平面BCD所成角为45°时,三棱锥P-BCD的体积最大D.当二面角P-BD-C大小为90°时,点D到面PBC的距离最大【答案】AC【解析】【分析】对于A:利用古典概型的概率公式直接求概率,即可判断;对于B:连结AC交BD于E.证明出面PCE,得到PC.即可判断;对于C:证明出45°时三棱锥P-BCD的高为最大,从而三棱锥P-BCD的体积最大;对于D:求出二面角P-BD-C大小为90°时,点D到面PBC的距离.求出特殊位置当时,点D到面PBC的距离所以.判断出.即可否定结论.【详解】对于A:任取三棱锥P-BCD中的三条棱,有种,其中共面一共有4种,故概率为.故A正确; 对于B:连结AC交BD于E.因为ABCD为菱形,所以,即,.又所以面PCE,所以PC.故B错误;对于C:因为面PCE,所以点P在底面的射影落在直线AC上,即为PC与平面BCD所成角,即45°.因,所以,所以,即.又,,所以面BCD.此时三棱锥P-BCD的高为最大.所以所以PC与平面BCD所成角为45°时,三棱锥P-BCD的体积最大.故C正确;对于D:因为面PCE,所以即为二面角P-BD-C的平面角,即.此时设点D到面PBC的距离为.因为,,所以.所以.由等体积法可得:,即,解得:. 当时,三棱锥P-BCD的各边长均为2,为一个正四面体.此时记点D到面PBC的距离为,则为正四面体的高.如图示:过C作于F,则.过D作面PBC于G,则G为△PBC的中心,所以.所以.因为,所以.故D错误.故选:AC.【点睛】(1)立体几何中的翻折叠(展开)问题要注意翻折(展开)过程中的不变量;(2)①立体几何中的几何关系的证明,用判定定理;②立体几何中的计算,求角或求距离(求体积通常需要先求距离),通常可以建立空间直角坐标系,利用向量法计算.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中常数项是___________(用数字作答).【答案】【解析】【分析】根据二项式定理,可知的展开式通项为,令 ,求出,带入通项公式,即可求出结果.【详解】因为的展开式通项为,令,则,所以的展开式中常数项是.故答案为:.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,,点N为B1B的中点,则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意,建立适当的空间直角坐标系,即可求解.【详解】如图所示,以点为坐标原点,以,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,因为,点为的中点,所以,所以,,故. 故答案为:.15.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约80%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟,这些人的近视率约为90%,现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生,则他近视的概率为___________.【答案】##【解析】【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数,再进行概率估计.【详解】解:设该校共有名同学,则约有名学生近视,名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有名学生近视.所以有名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有名学生近视.所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率约为.故答案为:.16.某部件由三个电子元件按如图方式连接而成,该部件要正常工作,需满足:①元件D正常工作;②元件C正常工作或部件A,B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(100,),且各个元件相互独立,那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________.【答案】【解析】【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N(100,)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为,根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率. 【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(100,),且各个元件相互独立,故每一个元件能用100小时以上的概率均为,设A元件能用100小时以上为事件A,B元件能用100小时以上为事件B,C元件能用100小时以上为事件C,D元件能用100小时以上为事件D,则该部件的使用寿命超过100小时的概率为:.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为偶数,.(1)当时,求的值;(2)证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接利用二项式展开式的通项公式求解即可,(2)利用赋值法,分别令和,然后将得到的式子相加可得答案【小问1详解】当时,,故【小问2详解】当时,即①当时, 即②.由①②相加得:即有.18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=3,,且PB⊥AM.(1)求AD的长;(2)求二面角P-AM-D的正弦值.【答案】(1);(2)﹒【解析】【分析】(1)以为一组基底,建立空间直角坐标系,设,求出各点坐标,根据求出a值,从而确定AD的长度;(2)求出平面PAM和平面DAM的法向量,利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值.【小问1详解】∵平面,四边形为矩形,∴不妨以为一组基底,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则则,,则,解得, 故;【小问2详解】,设平面的法向量为,则,取,可得,∵PD⊥平面AMD,∴可设平面的法向量为,因此,二面角的正弦值为.19.高二某班级举办知识竞赛,从A,B两种题库中抽取3道题目(从A题库中抽取2道,从B题库中抽取1道)回答.小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为,对抽取的B题库中的题目回答正确的概率为.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X.(1)求X=2时的概率;(2)求X的分布列及数学期望E(X).【答案】(1)(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)由题意分析:X=2表示可能答得对A题库2题,也可能A题库1题,B题库1 题,直接求概率;(2)的可能取值为.分别求概率,计算数学期望.【小问1详解】X=2不表示可能答得对A题库2题,也可能A题库1题,B题库1题,所以.【小问2详解】的可能取值为.所以;;.的分布列为:0123所以数学期望为:20.如图,底面为正方形的平行六面体的各个棱的长度均为,平面平面分别是的中点.(1)证明:平面;(2)求点C到面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用向量的线性运算判断出,利用线面平行的判定定理证明平面;(2)以为一组正交基底,建立空间直角坐标系,用向量法求点到面的距离.【小问1详解】由题则又平面,所以平面.【小问2详解】在平面内,过点作,由平面平面可知:平面,又为正方形.现以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则设为平面的法向量,则,所以不妨取,则.又,所以则则点到面的距离为: 21.某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为:从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时,停止检测,此批零件检测未通过,否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1,且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过,求恰好检测4次的概率;(2)已知每件零件的生产成本为100元,合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复,修复后合格的零件正常销售,修复后不合格的零件以20元/件按废品处理,若每件零件的修复费用为30元,每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8.①记X为生产一件零件获得的利润,求X的分布列和数学期望.②小明说,对于不合格零件,直接按照废品处理更划算,从利润的角度出发,你同意小明的看法吗?试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析,73.8(元);②不同意小明的看法,因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【解析】【分析】(1)根据题意,由第四次检验不合格,前三次有一次检验不合格求解;(2)①易得可取80,50,,求得相应的概率,列出分布列,再求期望;②由两个期望比较下结论.【小问1详解】解:若此批零件检测末通过,恰好检测4次,则第四次检验不合格,前三次有一次检验不合格, 故恰好检测4次的概率.【小问2详解】①由题意可得,合格产品利润为80元,不合格产品修复合格后利润为50元,不合格产品修复后不合格的利润为元,则可取80,50,,故,故的分布列为:8050故(元).②对于不合格零件,直接按照废品处理,则每个零件获得利润的数学期望为:(元)又故不同意小明的看法,因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22.空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量的斜60°坐标为[x,y,z],记作.(1)若,,求的斜60°坐标;(2)在平行六面体中,AB=AD=2,AA1=3, ,如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若,求向量的斜坐标;②若,且,求.【答案】(1)(2)①;②2【解析】【分析】(1)根据所给定义可得,,再根据空间向量线性运算法则计算可得;(2)设分别为与同方向的单位向量,则,①根据空间向量线性运算法则得到,即可得解;②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程,即可求出,再根据及向量数量积的运算律计算可得;【小问1详解】解:由,,知,,所以,所以;【小问2详解】解:设分别为与同方向的单位向量, 则,①②由题,因为,所以,由知则

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-18 16:24:01 页数:20
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文章作者:随遇而安

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