江苏省常州市八校2021-2022学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2021-2022学年第二学期八校期中测试高二年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在的二项展开式中，第二项的系数为（）A.4B.C.6D.【答案】B【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可【详解】的二项展开式的第二项为，所以第二项的系数为，故选：B2.对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（）A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.与点位置有关【答案】B【解析】【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.详解】由，所以A，B，C，P四点共面，故选：B3.下列说法不正确的是()．A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量【答案】D【解析】【分析】根据平面法向量的定义和性质逐项判断即可.【详解】对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故B正确；对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；对于D，如果与平面共面且，当共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.故选：D.4.因为支援某地抗击疫情，我市中医院派出8名护士，2名医生，将他们随机分给甲、乙两个医院，每个医院5人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的运算公式，结合组合的定义进行求解即可.【详解】2名医生恰好被分在不同医院的共有种情况，所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为，故选：C5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，∴，，，．故选：C【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量，则，．6.已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，设平面的法向量，则，令，解得，故点到平面的距离为.故选：A.7.盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，，事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，故选：C8.在的展开式中，系数绝对值最大项是（）A.第10项B.第9项C.第11项D.第8项 【答案】B【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，设第项的系数绝对值最大，所以有，因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某位同学次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示：数学成绩物理成绩参数数据：．已知与线性相关，且关于的回归直线方程为，则下列说法正确的是（）A.B.与正相关C.与的相关系数为负数D.若数学成绩每提高分，则物理成绩估计能提高分【答案】ABD【解析】分析】根据题意，结合回归直线方程，一一判断即可.【详解】根据题意，由关于的回归直线方程为，易知与正相关且与的相关系数为正数，故B正确，C错误；若数学成绩每提高分，代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高分，故D正确； 对于选项A，因，，所以，解得，故A正确.故选：ABD.10.下列四个命题，其中真命题是（）A.若与共面，则存在实数，使得B.若存在实数，使得，则与共面C.若存在实数，使，则点共面D.若点共面，则存在实数，使【答案】BC【解析】【分析】利用反例可说明AD错误；利用空间向量共面定理知B正确；由知共面，由此可得四点共面，知C正确.【详解】对于A，若，，则不存在实数，使得，A错误；对于B，由空间向量共面定理可知：若存在实数，使得，则与共面，B正确；对于C，若存在实数，使，则共面，四点共面，C正确；对于D，若，，则不存在实数，使，D错误.故选：BC.11.下列说法正确的是（）A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.如果随机变量，那么C.甲、乙、丙、丁四个人到四个景点去旅游，每人只去一个景点，设事件为“四个人去的景点不相同”，事件为“甲独自去一个景点”，则D.已知随机变量服从两点分布，且，，令 ，则【答案】ABD【解析】【分析】根据随机事件的定义、两点分布、二项分布的性质，结合条件概率的公式逐一判断即可.【详解】对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C：，，所以，故C不正确；对于D，由于，所以，又，所以，故D正确，故选：ABD12.如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止，则下列说法不正确的是（） A.甲从必须经过到达处的方法有9种B.甲乙两人在处相遇的概率为C.甲、乙两人相遇的概率为D.甲从处到达处的方法有120种【答案】BD【解析】【分析】对于A，甲经过到达，可分为两步：第一步：求出甲从经过的方法数，第二步求出甲从到的方法数，再利用乘法计数原理求解即可，对于B，利用互斥事件的概率公式和古典概型的概率公式求解即可，对于C，由题意可得甲、乙两人相遇，只可能在、、、处相遇，求出相遇的方法，再利用古典概型的概率公式求解，对于D，甲从处到达处的方法需走6步，从而可求出答案【详解】对于A，甲经过到达，可分为两步：第一步，甲从到的方法数有种，第二步，甲从到的方法数有种，所以由分步计数原理可得甲从经过到达处的方法有种，所以A正确，对于B，由题意可得甲从处到达处的方法有种，甲经过的方法数为种，同理可得乙从处到达处的方法有20种，乙经过的方法数为9种，所以甲乙两人在处相遇的方法数为，所以甲乙两人在处相遇的概率为，所以B错误，对于C，因为甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法，所以，所以甲、乙两人相遇的概率为，所以C正确，对于D，甲从处出发随机选择一条沿街的最短路径到达处需走6步，共有的方法为 种，所以D错误，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.（用数字作答）【答案】165【解析】【分析】由组合数的性质即得.【详解】故答案为:16514.如果随机变量，且，那么____________.【答案】##.【解析】【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可.【详解】因为，所以，因为该正态分布曲线关于对称，所以，故答案为：.15.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片分给3个不同的学生，每个学生分两张，其中标号为5，6的卡片分给同一个学生，则不同的分法共有____________.【答案】18【解析】 【分析】利用先分组再分配的方法可求不同分法的总数.【详解】将标号为1,2,3,4的卡片分成两组，有种分法，故总的分法总数为，故答案为：18.16.若，则____________.【答案】【解析】【分析】利用换元法和二项展示式的通项公式可求.【详解】设，则，而的展开式的通项公式为，令，则，故，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）设，求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据组合数的定义和公式进行求解即可；（2）根据组合数和排列数公式进行求解即可.【小问1详解】由组合数的定义可知： ，因为，所以，即；【小问2详解】18.（1）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14:3，求展开式中的常数项；（2）已知的展开式中的系数为5，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求常数项；（2）利用多项式的乘法结合二项展开式的通项公式可求的值.【详解】（1）的展开式的通项公式为，第5项与第3项的二项式系数分别为，整理得到：即，所以，故，令，则，所以展开式中的常数项为. （2）展开式的通项公式为，故该展开式中的系数为，的系数为，故的展开式中的系数为，由题设有，故.19.把边长为2的正方形沿对角线折成两个垂直平面，，分别为，中点，以为原点，方向，方向，方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标表示公式进行计算证明即可；（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为正方形的边长为2，所以可得：，， 因为，所以；【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为是正方形，所以，因为为中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因此向量是平面的法向量，所以二面角的余弦值为：.20.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：，，，，（单位：）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关； 采用实验方案未采用实验方案合计大果非大果合计100100200（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径服从正态分布，其中近似为样本平均数，，请估计对照园中果径落在区间内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①；②若服从正态分布，则，，.【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为两者有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出采用实验方案大果和非大果数量及未采用实验方案大果和非大果数量，从而可得出列联表，再根据公式求出，对照临界值表即可得出结论；（2）求出样本平均数，再根据正态分布的性质即可得出答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为个，则非大果数量为个，未采用实验方案大果的数量为个，则非大果数量为个，列联表如下： 采用实验方案未采用实验方案合计大果非大果合计，所以有的把握认为两者有关；（2）由题中数据，，则，则.21.全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.第1次第2次第3次第4次第5次甲8692878986乙9086898887（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；（2）从5次训练中随机选取2次，用表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.（注：样本数据方差，其中）【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为； （3）乙选拔中更具竞争力，理由见解析.【解析】【分析】(1)在5次模拟训练中，确定甲的成绩高于乙的成绩次数，再利用古典概率公式计算即得.(2)写出的所有可能值，再求出各个值对应的概率即可列表、计算作答.(3)分别求出甲和乙的成绩的平均数、方差，然后比较即可作答.【小问1详解】在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次，从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A有2个基本事件，所以甲的成绩高于乙的成绩的概率.【小问2详解】的所有可能值是：0，1，2，，，，所以的分布列为：012数学期望为.【小问3详解】甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲成绩的方差，乙成绩的方差，虽然，但，因此得乙的成绩更稳定，所以乙在选拔中更具竞争力. 22.在中，，，，、分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求与平面所成角的大小；（2）在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直?若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，且【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的大小.（2）设，用表示平面和平面的法向量后可求的值，从而可求两条线段的比值.【小问1详解】在中，因为，故，故在四棱锥中，有，，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，因为经过的重心（如图），连接并延长，交于，则，故，因为，故，在中，，则，故，故，又设平面的法向量为， 则即，取，则，故，故，故与平面所成角的正弦值为.因为与平面所成角为锐角，故该角为.【小问2详解】设，则，故，又，，，设平面的法向量为，则即，取，则，故.设平面的法向量为，则即，取，则，故，因为平面平面，故，所以，故，所以.