江苏省常州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

常州市教育学会学业检测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（）A.6B.12C.24D.48【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理即可求解.【详解】先安排2名同学在两端，有种方法，2名老师内部全排有种方法，2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，根据分步计数原理，共有种方法，故选：B2.疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．A.14B.16C.30D.32【答案】B【解析】 【分析】根据题意，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，所以，，得到，进而计算可得答案.【详解】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以，，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为故选：B3.现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得解．【详解】解：今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为．故选：A．4.已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】首先求的值，再根据法向量的夹角与二面角大小的关系，判断选项.【详解】，所以，又因为二面角大小与法向量夹角相等或互补，所以二面角的大小可能是或.故选：C5.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，，∴.故选：D. 6.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】【分析】【详解】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，故选D7.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，,设(x，y，z)，,，则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.故选：A.【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.8.数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2 的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.【详解】解：由得，，则，由，得，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，由，得，因为数列满足，，即，所以，又∵，，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：冰雪运动的喜好性别合计男性女性 喜欢140m140＋m不喜欢n8080＋n合计140＋n80＋m220＋m＋n若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数，则（）A.列联表中n的值为60，m的值为120B.随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动C.有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关D.没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分别计算的值，填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论．【详解】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，所以，解得，又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，所以，解得，所以选项A正确；计算，所以随机对一路人进行调查，有的可能性对方喜欢冰雪运动，选项B错误；填写列联表为：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140120260不喜欢6080140合计200200400 由表中数据，计算，所以有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项C正确；因为，所以没有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项D正确．故选：ACD．附：（其中n＝a＋b＋c＋d）．P（χ2＞3.841）＝0.05，P（χ2＞6.635）＝0.01．10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（）A.S5＜S9B.该数列的公差d＜0C.a7＝0D.S11＜0【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可.【详解】解：由可得，，得，由得，所以等差数列的公差，故选项B正确.所以为正，，从第8项起均为负.故选项C正确.所以，故选项A不正确.，故选项D不正确.故选：BC11.盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（）A.A与B互为对立事件B.A与C相互独立C.C与D互斥D.B与C相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据对立事件，互斥事件的定义可判断AC；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断BD.【详解】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，故A正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误；对于BD，，，，，所以，所以A与C相互独立，B与C相互独立，故BD正确；故选：ABD12.已知正四棱锥P－ABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（）A.PA⊥OMB.直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为C.平面OMN∥平面PCDD.四棱锥P－ABCD的外接球的体积为【答案】AC【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到由三线合一得到A选项正确；B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；C选项，由线线平行证明面面平行；D选项，根据A选项的分析得出四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为，代入公式求出外接球体积.【详解】如图1，连接OP，则OP⊥底面ABCD， 因为平面ABCD，所以PO⊥AO，由勾股定理得：因为AP=1，所以因为M为AP的中点，由三线合一得：OM⊥AP，A正确；如图2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面OMN的法向量为，则，令，则，所以，设直线AP与平面OMN所成的角为，则，而， 所以直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为，B错误；如图3，因为O为AC中点，M为PA中点，所以OM是三角形ACP的中位线，所以OM∥PC，因为平面PCD，平面PCD，所以OM∥平面PCD，同理可知：ON∥平面PCD，因为，平面OMN，平面OMN，所以平面OMN∥平面PCD，C正确；通过A选项的分析，可得：，所以四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为， 则体积为，D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝___________．【答案】243【解析】【分析】设等比数列为，根据等比数列性质求解可得，进而得到a6＋a7＋a8【详解】由题意，设等比数列为，则，故，所以故答案为：14.如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种．【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【详解】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有种．故答案为：48 15.已知四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，平面，，以P为球心为半径的球面与底面的交线长为___________．【答案】##【解析】【分析】设为球面与底面的交线上任意一点，由得到球面与底面的交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆，再求交线长即可.【详解】设为球面与底面的交线上任意一点，则，又平面，平面，则，又，则，又四边形是边长为1的正方形，则的轨迹为以为圆心，半径为1的四分之一圆，故球面与底面的交线即为以为圆心，半径为1的四分之一圆，则交线长为.故答案为：.16.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______.【答案】##0.3125【解析】【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，设“次传球后球在甲手中”，则， 则．即，所以，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以5次传球后球在甲手中的概率为．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正整数n≥2，（x＋3）n的展开式为anxn＋＋…＋a1x＋a0．（1）若（x＋3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；（2）若n＝2022，且ak是an，an－1，…，a1，a0中的最大值，求正整数k的值．【答案】（1）5（2）505【解析】【分析】（1）令可得的展开式中各项系数和，再结合二项式系数和为求解可得n（2）根据二项式展开式的通项公式，再根据最大项满足大于等于前后两项，进而列式求解即可【小问1详解】令得的展开式中各项系数和为，二项式系数和为，由题意可知：，所以，解得或（舍去），所以；【小问2详解】 二项式的通项公式为：．令，解得，因此．因为是中的最大项，所以．18.已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．（1）设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列；（2）若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）构造证明即可；（2）根据是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得，再根据的最大值分析即可【小问1详解】因为，所以．即，又因为，所以，则，所以，数列是等比数列【小问2详解】由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．所以，则． 经检验时也符合，则．又因为，所以．19.小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并计算得＝2400，＝220，＝42000，＝8400．（1）求y关于x的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx（k＞0，m＞0），该商场现有80~170m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?附：在线性回归方程ŷ＝＋x中，＝，＝－，其中，为样本平均值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据最小二乘法的公式求线性回归方程即可；（2）根据题意构造出经济效益和面积的函数关系，利用函数的性质求最值及取得最值时变量的取值即可.【小问1详解】由已知可得，． ，．所以回归直线方程为．【小问2详解】根据题意得，．设，令所以．则，当，即时，取最大值．又因为k，，所以此时Z也取最大值．因此，小李应该租的商铺20.已知数列的前项和为，且．（1）求，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列前项的和．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）取可算出，将递推关系 多列一项后作差，得到新的关于的递推关系即可；（2）分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可.【小问1详解】由题可知，，解得．在中令，得，解得；因为①，所以②，由①-②得：，即，所以．所以数列是首项与公差都为2的等差数列，所以．【小问2详解】由题可知，当时，所以．当时，所以，所以．综上：．21.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． （1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．【答案】（1）（2）小李应选择路线1；理由见解析【解析】【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，由对立事件概率公式计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得期望，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望，比较可得．【小问1详解】设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，所以至少遇到一个红灯的事件为，由对立事件概率公式，得，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为．【小问2详解】设路线1累计增加时间的随机变量为，则， 所以，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以．因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．22.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．（1）求证：AA1⊥CD；（2）棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M为棱中点或者为靠近端的八等分点. 【解析】【分析】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.【小问1详解】取棱的中点O，连接．因为四边形是菱形，所以，又因为，所以为等边三角形，所以．因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．【小问2详解】因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面． 以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则点．设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取得．假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得，设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取，得．由，解得或，所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．