江苏省宿迁市2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

高二年级调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答.【详解】依题意，当时，.故选：B2.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答. 【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.故选：D3.下列各式中，不等于的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】选项A：.判断正确；选项B：.判断正确；选项C：.判断错误；选项D：.判断正确.故选：C4.如果今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（）A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四【答案】C【解析】【分析】原式等于，利用二项式定理展开，求出它除以的余数，即可得出结论．【详解】解：，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以的余数为，，故经过天后是星期三，故选：C．5.已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法” 判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别计算预报值与实际值的差的平方和，然后比较即得.【详解】当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，故最小，即效果最好是.故选：A.6.甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】利用古典概型去求乙得冠军的概率即可.【详解】由题意可得，“甲没有得到冠军”，“乙不是最差的”则可能的竞赛结果共有（种）其中乙得冠军共有（种）可能的结果则甲乙都猜对了，乙得冠军概率为故选：D7.四面体中，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C8.设随机变量（且），最大时，（）A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.详解】随机变量，则， 因最大，则有，即，，整理得，解得，而，则，所以.故选：C【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值B.样本相关系数的取值范围是C.决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好D.若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关【答案】AC【解析】【分析】根据样本相关系数，决定系数及线性回归方程的概念逐项分析即得.【详解】对于A，样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值，故A正确； 对于B，样本相关系数的取值范围是，故B错误；对于C，决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，故D错误.故选：AC.10.在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、、、、、、，所以、、、，所以，故A正确；，故B正确；，，，，所以，，故，即C正确；因为，所以与不垂直，故D错误； 故选：ABC11.已知的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用正态密度曲线的性质结合条件即得.【详解】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，由题图可知，，故AB正确；当，故C错误；由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，故D正确.故选：ABD.12.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60% ，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】解：依题意，，，，故C正确；所以，所以，故A错误；因为，所以，故B正确；所以，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．【答案】【解析】【分析】利用分类计数原理，按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有种，中线路中有一种，下线路中有种．根据分类计数原理得到结果． 【详解】解：依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有种，中线路中只有种，下线路中有（种．根据分类计数原理，共有（种．故答案为：．14.已知随机变量，则的值为________．【答案】2【解析】【分析】利用题给条件列出关于的方程组，解之可得的值，进而可求得的值.【详解】由随机变量可得，解之得，则故答案为：215.已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求得向量的坐标，再依据题给条件列方程去求向量的坐标即可解决.【详解】由点，可得，又向量在上的投影向量为，则则，又向量与向量不共线，则不成立 则可令，即，故答案为：（答案不唯一）16.“杨辉三角”（或“贾宪三角”），西方又称为“帕斯卡三角”，实际上帕斯卡发现该规律比贾宪晚500多年，若将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形数阵，被称为莱布尼茨三角形．从菜布尼茨三角形可以看出，其中________（用r表示）；令，则的值为________．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用组合数公式化简等式，可得，即得；由题设关系，应用累加法可得，进而即得.【详解】由得： ，又，，；∵，∴，，，…，，，将上述各式相加，得，即，∴，∴，故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在条件①无理项的系数和为，②的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在的展开式中_____________．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先写出展开式的通项，若选①，令的无理项系数和为、有理项系数和为，利用赋值法得到，，即可求出，从而求出；若选②，令，求出，即可求出的取值范围，再由，即可求出的取值范围，从而得解；若选③，根据二项式系数及组合数公式计算可得；（2）由（1）得到展开式的通项，令的指数为，求出，再代入计算可得；【小问1详解】解：因为展开式的通项为若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，则的无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，令的无理项系数和为、有理项系数和为，令，则，所以，所以；若选②，令，解得，因为且，解得且为的倍数， 所以，因为，所以，所以，所以；若选③，依题意可得，即，解得；【小问2详解】解：由（1）可得，则展开式的通项为，令，解得，所以展开式中常数项为；18.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；【小问1详解】 解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则【小问2详解】解：依题意可得，则，设平面的法向量为，所以，令，则，则，显然二面角的锐二面角，所以二面角的余弦值为； 19.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出是2个红球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）利用全概率概率公式计算可得；【小问1详解】解：依题意从个球中取4个球有中取法，其中4个球中恰好有个红球，即恰好有个红球、个白球，有种取法，所以4个球中恰好有2个红球的概率；【小问2详解】解：记从乙袋中取出个红球、个白球，为从乙袋中取出个红球，为从甲袋中取出个红球，所以，， 所以，，所以20.受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图．优秀数非优秀数合计某校4654100联谊校5644100合计10298200（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见表1，请问是否有把握断定优秀数与线上学习有关？若有关，请问有多大把握？附：相关系数：回归系数：， 临界值表：0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）具有显著相关关系，（2）在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”【解析】【分析】（1）先求得相关系数，从而判定均分y与线上教学周数x负相关很强，再利用题给条件求得、，进而即可求得线性回归方程；（2）先计算出，进而在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”【小问1详解】，则均分y与线上教学周数x负相关很强.则则线性回归方程为 【小问2详解】则在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”21.如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．（1）求证：平面；（2）当点P是边的中点时，求点到直线的距离．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；（2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.【小问1详解】作，交于点，由，则， ∵，∴，即，∴且，连接，所以四边形为平行四边形，∴，∵平面，且平面，∴平面．【小问2详解】取中点，连接、，∵，，，根据余弦定理得：，∴，则，又平面平面，平面平面，∴平面，∵是等边三角形，∴，如图建立空间直角坐标系， 则，∴，∴，∴点到直线的距离为.22.在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：策略概率每题耗时（分钟）第11题第12题A选对选项0.80.53B部分选对0.60.26 全部选对0.30.7已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：（1）若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；（2）若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．【答案】（1）分布列见解析，，（2）题和12题均采用策略，理由见解析；【解析】【分析】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望与方差；（2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断；【小问1详解】解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，所以，，，，，由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7，则，，，，，所以小明第11题和第12题总得分的分布列为：02457 所以，【小问2详解】解：依题意该同学答题方案有：方案题采用策略，12题采用策略；方案题和12题均采用策略；方案题和12题均采用策略；方案题采用策略，12题采用策略；设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，则的可能取值为0，2，4，5，7，10，故，，，，，，故的分布列为：02457100.010.080.120.10.480.21所以，但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为3分，因为，方案的期望值一定小于，故不选方案，设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，则的可能取值为0，2，4，5，7，故， ，，，，故的分布列为：024570.020.120.160.140.56所以，方案的期望值也小于，故不选方案；所以我建议该同学按照方案题和12题均采用策略．