江苏省连云港市2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021~2022学年第二学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则P(A)=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率公式即可求解．【详解】依题意得，所以，解得．故选：C．2.甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.7．若两人同时独立射击，则他们只有一人中靶的概率是（）A.0.97B.0.63C.0.34D.0.03【答案】C【解析】【分析】直接由独立事件乘法公式计算即可求解.【详解】只有一人中靶的概率是.故选：C.3.某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据 /1520253035/百元12245已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出样本中心点，代入选项中方程检验即可求解.【详解】线性回归方程必过样本中心点，由题意得，，结合选项可知，，即y与x的线性回归方程是.故选：B.4.展开式中的常数项为（）A.20B.40C.60D.80【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为0求解即可【详解】由题意，展开式的通项公式，当时，，故展开式中的常数项为故选：C5.已知离散型随机变量X的分布列如下表：X012 P0.64q21－2q则E(X)=（）A.0.56B.0.64C.0.72D.0.8【答案】A【解析】【分析】由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值..【详解】由题可得，解得或，当时，，不符合题意，舍去，；所以可得分布列为X012P0.640160.2，故选：A.6.如图所示，已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，则这个三棱台的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理，再利用棱台的侧面面积公式，结合梯形的面积公式即可求解.【详解】因为平面，平面，所以,又，所以，在梯形中，易知，，所以,所以这个三棱台的侧面积为.故选：A.7.设，且，若能被整除，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】因为，利用二项式定理展开式可得能被整除，由此求出的值.【详解】因为，所以展开式为，其中每一项都能被整除，，其中每一项都能被整除，所以能被整除的余数为，因为，且，若能被整除， 所以能被整除，所以.故选：D.8.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.150种B.210种C.300种D.540种【答案】B【解析】【分析】依题意每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2，先将课程分组，再分配到三个学年，最后按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．所以每位同学的不同选修方式有种．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知，则x=（） A.3B.6C.8D.10【答案】AD【解析】【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为，故或，即或故选：AD10.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率，乙胜的概率为．则（）A.当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为B.当采用“三局两胜”制，乙胜概率为C.当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为D.当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为【答案】BC【解析】【分析】根据独立事件的概率，依次计算三局两胜制和五局三胜制甲获胜的概率，进而求解.【详解】因为每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，甲胜的情况为连胜两局结束比赛或前两局胜一局第三局获胜，其概率为：，乙胜的概率为故A错误，B正确；若采用五局三胜制，则甲胜的情况为连续三局获胜结束比赛，或前三局有一局负，第四局胜，或前四局有两局获胜，第五局获胜.其概率为：，乙胜的概率为故C正确，D错误；故选：BC 11.已知的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则（）A.n=7B.第4项为C.第3项系数最大D.展开式中有理项有2项【答案】ACD【解析】【分析】根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，由，求得，然后逐项判断.【详解】解：因为的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以，解得或（舍去），故A正确；所以的通项公式为，令，得，故B错误；因为，且第二项、第四项、第六项、第八项系数为负，故第3项系数最大，故C正确；展开式中有理项有，2项，故D正确，故选：ACD12.一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A－BC－D的大小为θ，E，F分别是BC，BD的中点，则（） A.直线BD与平面AEF所成的角是定值B.当θ=90°时，平面ABD⊥平面ACDC.当θ=90°时，直线BD与AC的夹角为45°D.设平面AEF∩平面ACD=l，则l//平面BCD【答案】ABD【解析】【分析】对于A，先证线面垂直，从而可得线面角即可判断；对于B，根据直二面角得到平面，得到，再证明平面，得到答案；对于C，通过平移后再解三角形可求解；对于D，根据线面平行的性质可求解.【详解】对于A，可知,因为E，F分别是BC，BD的中点，所以可知，从而可知，又，且平面，所以平面，从而可知直线BD与平面AEF所成的角为为定值，故A正确；对于B，二面角为直二面角，且，平面，则平面.平面，故.，，故平面，平面，故平面平面ACD．故B正确；对于C，分别取的中点，过点作于，连接 ,不妨设,则可得,则在中，，从而可知直线BD与AC的夹角不可能是45°，故C错误；对于D，因为E，F分别是BC，BD的中点，所以,且平面，平面，因此可得平面，而平面AEF平面ACD=l，所以直线，又平面，平面,所以l//平面BCD，故D正确..故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，则=___________．【答案】2【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可【详解】因为，故答案为：214.从这4个数字中选出3个不同数字能组成___________个三位数．【答案】【解析】【分析】利用排列中的特殊元素优先处理，结合排列数公式和分步乘法计数原理即可求解.【详解】由于选出3个不同数字能组成的三位数中，百位上的数字不能是，因此可以分两步完成排列，第步，排百位上的数字，可以从这从个数字中任选个，有种选法；第步，排十位和个位上的数字，可以从余下的个数字中任选个，有种选法；根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.故答案为：.15.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布 N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人．(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)【答案】26【解析】【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果．【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.故答案为：26.16.如图，在球内接四棱锥中，底面的对角线AC与BD交于点O，，，，，．则球的表面积为___________．【答案】【解析】【分析】先由余弦定理求得，进而求出，由勾股定理得，结合 证得底面，取中点，过作，得出球心在上，由勾股定理求出半径，即可求解.【详解】由题意知，底面有外接圆，即，则，则，即，解得，则，又由，可得，且，则，则，，则，设中点，则底面的外接圆圆心即为，又，，，则，又，平面，，则平面，又平面，则，又底面，，则底面，过作，使，连接，易得四边形为矩形，,球心在上，设球心为，球的半径为，则 ，设，则，则，解得，则球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.1.某同学会做老师给出的6道题中的4道.现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：（1）选做的3题中该同学会做的题目数的分布列；（2）该同学能及格的概率．【答案】（1）具体见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，该同学会做的题目数为1,2,3，则根据超几何分布求概率的方法求出对应的概率，最后写出分布列即可；（2）根据（1）即可求得答案.【小问1详解】记该同学会做的题目数为，由题意，，，，，所以该同学会做的题目数的分布列为：123【小问2详解】由（1），该同学能及格的概率为：.18.某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：未患病患病合计喝酒11040150 不喝酒9010100合计20050250（1）根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关?（2）从喝酒150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．参考公式：(其中n=a＋b＋c＋d)P(χ2≥x0)0.100.050.0250.010.0050.001x027063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为患病与喝酒有关（2）【解析】【分析】（1）根据列联表中的数据计算观测值，利用观测值与临界值比较即可求解；（2）根据分层抽样的抽样比及组合的定义，利用对立事件及古典概型的计算公式即可求解.【小问1详解】由列联表中的数据可知所以有的把握认为患病与喝酒有关．【小问2详解】由题意知：所抽取的15人中，未患病的有人，患病的有人，记“至少有一人患病”为事件，则．所以至少有一人患病的概率为.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面 ⊥底面，是的中点，证明：（1）平面；（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及三角形的中位线定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据正方形的定义及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及等腰三角形的三线合一定理，结合线面垂直的判定定理及性质定理即可求解.【小问1详解】连接,连接，如图所示因为四边形为正方形，且对角线所以为的中点，又因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为四边形为正方形，所以，又平面平面，且平面平面，平面 所以平面，又平面，所以，因为为正三角形，且为中点所以，又，所以，又所以．20.椭圆经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若斜率为k的直线l过椭圆E的左焦点F，与椭圆E交于C，D两点，CD的垂直平分线与x轴交于点M，证明：为定值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接将代入中即可求解；（2）若，直接求出；若，写出直线的方程，联立椭圆，表示出线段的垂直平分线方程，求出点坐标，表示出即可求解.【小问1详解】由题意知：，解得，则椭圆E的标准方程为；【小问2详解】由（1）知：椭圆E的标准方程为，则， 若，则直线的方程为，则，易得线段的垂直平分线方程为，则，，；若，则直线的方程为，联立椭圆，整理得，设，可得，设的中点为，所以，则，即，则的垂直平分线方程为，令，可得，则，所以，又，所以；综上：.21.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出两平面的法向量，用向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有,又PD⊥AB，且,平面PAD,所以平面PAD，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；【小问2详解】取的中点,因为，可得,由（1）可得，而，且平面, 所以平面.所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.所以.设，由PD=3MD．有，可得，所以.所以设平面PAB的法向量为，则有，可取，设平面MAC的法向量为，则有，可取，设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.22.已知函数．（1）求的最小值；（2）设，若有且仅有两个实根，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解；（2）根据导数正负与函数的单调性的关系及函数零点的存在性定理，利用已知条件结合函数极值及函数值，得出的范围，进而得出，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】的定义域为．， 令，即，解得，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．所以．【小问2详解】，定义域为，因为．所以在单调递增，又，，故存在，使得．所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．因为有且仅有两个实根，所以，又，，且所以，故．又又在单调递减，故是在的唯一根，故．所以．【点睛】解决此题的关键第一问利用导数法求函数的最值的步骤即可求解，第二问利用求二阶导数及函数零点的存在性定理得出函数的单调性，根据函数的极值及函数值，得出的范围，进而得出，结合函数的单调性即可.