浙江省七彩阳光联盟2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2021学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（　　）A.3B.C.3iD.【答案】B【解析】【分析】直接求出虚部即可.【详解】虚部为.故选：B.2.化简等于（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量运算，直接求解即可.【详解】因为.故选：A.3.斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（　　）A.矩形的直观图一定是矩形B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C.平行四边形的直观图一定是平行四边形D.菱形的直观图一定是菱形【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项.【详解】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.故选：C.4.正六边形中，若，，为的中点，则（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作，根据角度关系可证得，利用向量线性运算可表示出，由可求得结果.【详解】作，垂足为，连接，，如图所示，六边形为正六边形，，， ，，，，；又，，.故选：D.5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b=（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由求出，再结合正弦定理求出即可.【详解】由可得，由正弦定理可得，即，解得.故选：B.6.已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为（　　）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量，故选：C7.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据杭州的地理位置设计的表的示意图，已知杭州冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（　　）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由正弦定理求出，再通过求出即可.【详解】在中，，由正弦定理知，所以，所以.故选：C.8.正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足，则·的最小值为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，由得到为直线与的交点，再由极化恒等式·，由即可求解.【详解】设，可得，故三点共线，又三点共线，故为直线与的交点. ·，又，可得·，又，所以·故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（　　）A.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面B.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的C.正棱锥的底面边长和侧棱长相等D.棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】BD【解析】【分析】由柱、锥、台的定义依次判断即可.【详解】A选项：底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面，错误；B选项：由圆柱的定义知，任意两条母线所在直线互相平行，正确；C选项：正棱锥的底面边长都相等，但底面边长和侧棱长不一定相等，错误；D选项：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，正确.故选：BD.10.已知正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为6，则（　　）A.正三棱锥的表面积为B.正三棱锥的高为6C.正三棱锥的体积为18D.正三棱锥的外接球的表面积为64π 【答案】BCD【解析】【分析】先求出侧面三角形的高，再按照表面积公式计算即可判断A选项；由侧面三角形的高，结合勾股定理求出正三棱锥的高即可判断B选项；利用体积公式即可判断C选项；找出球心，勾股定理求出半径即可判断D选项.【详解】如图，在正三棱锥中，过作交于，过作面，为外接球球心，易知在上，连接.对于A，，故正三棱锥的表面积为，A错误；对于B，，，故，B正确；对于C，正三棱锥的体积为，C正确；对于D，设外接球半径为，，由可得，解得，故外接球表面积为，D正确.故选：BCD.11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（　　）A.△ABC的外接圆的直径为 B.的最大值为C.若，则△ABC为锐角三角形D.若，则△ABC面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：因为，故可得△外接圆直径，故正确；对：，又，故当时，取得最大值，故正确；对：若，由余弦定理可得：，解得，则，则△为直角三角形，故错误；对：若，又由余弦定理可得， 即，联立可得：，故△的面积，故正确.故选：.12.已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　）A.B.C.D.1【答案】CD【解析】【分析】设，可得，，将转化为，结合图形即可求出最小值，进而求解.【详解】如图，设，则，设，易知在直线上，由可得，，，又，则， 过作，易知，又，故，结合选项，可能取值为或.故选：CD.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个圆锥的高为1，母线长为2，则该圆锥的侧面面积为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意求得圆锥底面圆半径，再根据侧面面积求解公式，即可求得结果.【详解】设圆锥的底面圆半径为，则，故其侧面面积.故答案为：.14.已知复数（为虚数单位）是关于x的方程（其中）的一个根，则___________.【答案】7【解析】【分析】直接把代入，化简整理得，可得，解方程即可求出.【详解】由题意知：，即，整理得，故，解得，故. 故答案为：7.15.已知向量满足，则_______.【答案】【解析】【分析】由平方得到关于的三元一次方程组，解方程即可求出.【详解】由，可得，解得，故.故答案为：.16.在△ABC中，，，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且，（∈R）连结DE，取DE上一点G，使得，若GF与∠BAC的平分线平行，则λ的值为___________.【答案】【解析】【分析】用向量表达∠BAC的平分线，以及，结合向量共线即可求得参数值.【详解】设点为∠BAC的平分线上的任意一点，故可得，；又， 因为GF与∠BAC的平分线平行，故存在实数，使得，即，故可得，联立可得：.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知复数（i为虚数单位，），且·为纯虚数.（1）求；（2）设复数，对应的点分别为A，B，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的原点），求点C对应的复数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由·为纯虚数求出，再计算，求模即可；（2）先由四边形OABC为平行四边形求出的坐标，即可求出.【小问1详解】由题意知：，又·为纯虚数，故，解得.则，；【小问2详解】 易知，设，由四边形OABC为平行四边形可得，解得，即，故.18.已知向量，满足（1）若，求向量的坐标；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，由以及建立方程组，解方程即可；（2）先由求出，再按照向量夹角公式求解即可.【小问1详解】设，则，解得或，故或 ；【小问2详解】易知，由可得，即，故.19.如图，在直三棱柱ABC—中，底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D为BC的中点，三棱柱体积（1）求三棱柱的外接球的表面积和体积；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）表面积，体积；（2）【解析】【分析】（1）先由三棱柱体积求出，再找出球心，勾股定理求出半径，即可求出外接球的表面积和体积；（2）先证得面，再利用结合棱锥体积公式即可求解.【小问1详解】 易知，三棱柱体积，解得.取中点，取中点，连接交于，易知为的外心，为的外心，即为外接球的球心，，故外接球半径为，故外接球表面积为，体积为.【小问2详解】易知，又，，所以面，故.20.锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，满足（1）求角C；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）先由正弦定理得，再结合余弦定理即可求得角C；（2）先通过降幂公式得，再由结合辅助角公式得到，由锐角三角形求得角的范围，即可求解.【小问1详解】由，结合正弦定理可得，即，所以，又，故；【小问2详解】，因为锐角三角形，故，解得，则，，故，即的取值范围为.21.舟山渔场是中国最大的渔场，自古以来因渔业资源丰富而闻名，地处东海，是浙江省、江苏省、福建省和上海市三省一市渔民的传统作业区域，渔场的中心基地位于嵊山.现嵊山基地 正东40海里处一渔船遇险需救援，在基地东偏南且距离为20海里处的渔船甲，和在甲正北方向且距离为16海里处的渔船乙，同时收到了求救信号，甲、乙两船分别以18海里每小时，12海里每小时的航速前往营救，请问谁第一时间到达营救地点，并以怎样的方向前往？（参考数据：【答案】甲第一时间到达，往北偏东方向航行【解析】【分析】构建几何图形，通过余弦定理求出，得到，再求出，勾股定理求得，比较甲、乙的时间即可求解.【详解】如图构建几何图形，由题意知：，，则，则，，故，又，可得， ，则，故甲到达所用时间为小时，乙到达所用时间为小时，又，，故甲第一时间到达，且往北偏东方向航行.22.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角B大小；（2）设的重心为G，过点G的直线分别交线段AB，BC于点E，F，当面积取最大值时，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列方程，再由边角互化求角B，(2)根据余弦定理和三角形的面积公式确定当面积最大值时三角形的边角，再由向量的线性运算和数量积运算公式求的取值范围.【小问1详解】因为，所以，，，，又，，，又， 所以，【小问2详解】由(1)可得，所以，又，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，又面积，所以当时面积取最大值，设，，延长交与点，因为的重心为G，所以为的中点，所以，所以，又三点共线，所以，即，因为，所以，,又所以，所以， 所以，令，则，函数在上为增函数，所以，所以的取值范围为.