浙江省北斗联盟2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

北斗联盟2021学年第一学期期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，再判断其对应的点所在的象限【详解】因为，，所以，所以对应的点在第二象限，故选：B.2.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由， 因此，故选：A3.已知向量，，，且，则（）A.4B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】求出，用向量的数量积公式求解即可求出参数.【详解】因为，，所以，又因为，所以，即，解得.故选：C4.已知，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质即可判断.【详解】∵，∴，∴；又∵，当时，，∴是的充分不必要条件.故选：A.5.在同一直角坐标系中，函数，，（且）的图像可能是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数图象和性质逐个分析判断即可【详解】若，则在定义域内为增函数，在定义域内为减函数，且是由的图象向左平移个单位得到的，则其与轴的交点在区间上，所以AB错误，D正确，若，则则在定义域内为减函数，在定义域内为增函数，且是由的图象向左平移个单位得到的，则其与轴的交点在区间上，所以C错误，故选：D6.将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象左右平移的法则即可得到平移后的图象对应的函数的解析式. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度，即，故选：C7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则中的最大角是（）A.直角B.钝角C.直角或锐角D.直角或钝角【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求得角后判断最大角．【详解】由正弦定理知，又，所以，所以即或，时，，时，，所以最大角为或，故选：D.8.已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】，求出，根据数量积的定义求夹角，由判别式求得最小值．【详解】令，则，则，， 由得，由得，所以，，所以，令，显然，，所以，，时，，所以的最小值．故选：B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.9.已知函数，则关于函数的结论，正确的是（）A.最小正周期为B.在上单调递减C.最小值为D.关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一分析运算即可得出答案.【详解】解：由函数，得函数的最小正周期为，故A错误；当时，， 所以函数在上单调递减，故B正确；当时，函数取得最小值，故C错误；，为函数的最大值，所以函数的图象关于直线对称，故D正确.故选：BD.10.已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则是外心C.若，则为钝角三角形D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】由数量积的运算判断A，根据向量的夹角公式判断C，由垂直的向量表示判断D，根据向量线性运算判断B．【详解】由，得，即，故A对；由，取中点，连接，则，所以共线，且在线段上，，即为重心，故B错；由，得为锐角，为钝角故C对； 由，，得，知为的垂心，所以，故D对.故选：ACD.11.已知在复数范围内关于的方程两根为，则下列结论正确的是（）A.与互为共轭复数B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据实系数一元二次方程求根公式求出，然后逐一判断即可.【详解】由，或，显然与互为共轭复数，因此选项A正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C正确；因为，所以选项D不正确，故选：AC12.在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，且，为边、上的动点，则的值可能为（）A.B.C.0D.64【答案】BCD【解析】【分析】由可知，即可判断，以为原点，，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，分别表示，，，坐标，利用坐标法结合二 次函数性质求得范围，即可得到答案.【详解】由题，因为，所以，即，所以，即，以为原点，，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，如图所示，则，，，因为为边、上的动点，当在边上时，设为，，则，，，所以，则，所以当时取得最小值为，当时取得最大值为，所以，当在边上时，设为，，则，，，所以，则，所以当时取得最小值为，当时取得最大值为，所以，综上，，由选项可知，故选：BCD非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，，若，则m=________．【答案】-4【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算求得结果.【详解】由，得，解得.故答案为：-4.14.设，，把用含，的式子表示，形式为___________.【答案】.【解析】【分析】运用换底公式，结合对数的运算公式进行求解即可.【详解】，故答案为：15.为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向.再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为_________海里.【答案】【解析】【分析】结合图形和正弦定理可得，根据题意得出，由勾股定理得出，再利用余弦定理计算即可.【详解】由题意画出图形，如图， 则，所以，在中，由正弦定理，得，解得，又，所以，又，在中，由余弦定理，得，解得，所以A、B两岛屿之间的距离为海里.故答案为：16.在等边中，为边上的点且满足，且交于点，且交于点，若，则的值是___________.【答案】【解析】【分析】根据锐角三角函数定义、平行线的性质，结合平面共线的性质、平面向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】因为是等边三角形，所以，，因为，所以， ，因为，所以，，代入可得，，所以，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.实数m分别为何值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2.【解析】【分析】（1）当复数的虚部等于零,复数为实数,由此求得m的值；（2）当复数的虚部不等于零,复数为虚数,由此求得m的值；（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时,列方程组,即由此求得m的值.【详解】复数.（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；（2）要使z为虚数，只需，解得：且；（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2. 18.已知向量，.（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【小问1详解】，，，则；【小问2详解】，，与同向的单位向量.∴在上的投影向量，.19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足___________.（1）求的值；（2）若为边上一点，且，，，求.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）选择①，由余弦定理可求解，选择②，由正切的两角和公式可求解，选择③，由正弦的两角和公式可求解；（2）由余弦定理及正弦定理可求解.【小问1详解】选择①，由，可得，于是得，即，所以；选择②，由，有，于是得；选择③，由，有，即，即，又因为，所以，于是得，即，所以.【小问2详解】由在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理有，得.20.已知复数，（是虚数单位），.记所对应的向量，所对应的向量为，函数.（1）求函数的最大值；（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若的最大值为，且，求面积的最大值.【答案】（1）最大值为； （2）.【解析】【分析】（1）根据复数在复平面内对应点的性质，结合平面向量加法和数量积的坐标表示公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为，，所以，，当时，函数有最大值，即时，函数有最大值，所以函数的最大值为.【小问2详解】由（1）可知时，函数有最大值，因为，的最大值为，所以令，得，由，得，由，.21.某城市计划举办一个花卉博览会，如图扇形是布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，. （1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段和弧组成的道路，线段的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，现主办方拟在道路的段布置一根灯带，当点在弧中点时，求所需灯带的长度；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，顶点、在半径、上，且，，求花圃面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合平行线的性质、余弦定理进行求解即可；（2）根据锐角三角函数定义，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】当点在弧中点时，因为，所以，因为，所以，因此，设，由余弦定理可得：（负值舍去）； 【小问2详解】过作，垂足为，设，，因为，，所以，又因为，所以四边形平行四边形，而，所以四边形是矩形，因此，，的面积为：，当时，有最大值，最大值为.22.已知，函数（1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，求解即可；（2）根据题意得到，转化为，设，转化为，利用函数的单调性，求得其最值，即可求解.【小问1详解】当时，，即，解得或.所以不等式的解为【小问2详解】由复合函数单调性知函数在上单调递减，又函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，可得，即，即，所以， 设，因为，则，可得，当时，，当时，可得，因为在区间为单调递减函数，可得，所以，所以.故a的取值范围为【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则.