安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

芜湖一中2021-2022学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1.复数（为虚数单位）的虚部为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答.【详解】复数的虚部是.故选：A2.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】首先根据复数的加减法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，故在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A3.从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡的寿命，在这一情境中，总体是指（）A.这10万个灯泡B.这10万个灯泡的寿命C.抽取的1000个灯泡D.抽取的1000个灯泡的寿命【答案】B【解析】【分析】根据总体的定义即可得出答案.【详解】解：从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡 的寿命，这10万个灯泡的寿命是总体.故选：B.4.某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（）A.88.5B.89C.91D.89.5【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.【详解】7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第个数据，即89，故选：B5.已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量公式，即可计算.【详解】在上的投影向量为.故选：D6.已知向量，夹角为60°，，，则（）A.2B.C.D.12【答案】C【解析】【分析】利用平方法，根据向量模的平方等于向量的平方直接即可求出.【详解】，所以. 故选：C.7.如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）A.B.C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据图象求得正确答案.【详解】由图象可知.故选：D8.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求得.【详解】，则，由余弦定理得.故选：B 9.在中，，，的角平分线的长为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在中，利用正弦定理可求得，利用三角形内角和可求得，从而确定，在中利用正弦定理可得结果.【详解】在中，由正弦定理得：，即，又，，，，则，，，在中，由正弦定理得：，.故选：C.10.如图，为的外心，，，为钝角，是边的中点，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接，计算得出，同理可得出，将用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】取的中点，连接，则，如下图所示：所以，，同理可得，为的中点，则，因此，.故选：B.二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．）11.有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D.若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为【答案】ACD【解析】【分析】 根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.【详解】为不全相等的正实数，若甲的极差为，平均数为，方差为，则，中位数为，则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，A：由，故正确.B：由题意可知，，故不正确.C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；故选：ACD12.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.，，，则无解C.若，则为锐角三角形D.若，，则面积的最大值为【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理可判断选项A,B;举例可判断选项C；由余弦定理结合均值不等式求出，从而可判断选项D.【详解】选项A.,由正弦定理可得，即，故正确.选项B.由，即，所以满足条件的三角形有两个.故不正确.选项C.当，，满足条件，但为直角三角形，故不正确.选项D.由余弦定理有,即（取当且仅当等号），即 所以，故正确.故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数满足，则___________.【答案】2+i##i+2【解析】【分析】根据复数的除法运算先求出z，进而求出.【详解】由题意，.故答案为：.14.抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．【答案】【解析】【分析】根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.【详解】由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人岁以下有研究生学历的教师人数为：人岁以下有研究生学历的教师的百分比为：本题正确结果： 【点睛】本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.15.分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．【答案】6【解析】【分析】根据各层的平均数得到各层的数据和，再求解样本的平均数.【详解】＝.故答案为：6【点睛】本题主要考查分层抽样和平均数，还考查了运算求解的能力，所以基础题.16.已知的面积为3，，为所在平面内异于点的两个不同的点，若且，其中，则的面积为______.【答案】3【解析】【分析】先得到和，最后表示出并转化求值即可.【详解】解：因为，所以，即因为，所以所以，所以，因为，所以，所以，，因为的面积为3，所以， ，所以的面积是3故答案为：3【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分．）17.已知是虚数单位，复数，R.（1）当复数为实数时，求的值；（2）当复数纯虚数时，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)虚部零，则为实数；(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数.【小问1详解】当时，得；【小问2详解】当时，得.18.某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中值；（2）估计全班同学身高的中位数；（3）估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】（1）（2）中位数为171.25（3）平均数为170；方差150【解析】【分析】（1）根据所有矩形面积之和即频率之和为1，求得答案；（2）根据中位数的求解方法列出方程，求得答案;（3）分别利用平均数以及方差的计算方法，求得结果.【小问1详解】由图可得，解得．【小问2详解】设全班同学身高的中位数为，可知，得，解得，故估计全班同学身高的中位数为171.25．【小问3详解】估计全班同学身高的平均数为，估计全班同学身高的方差为．19.已知向量，，在下列条件下分别求k的值：（1）与平行；（2）与的夹角为．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；【小问1详解】解：因为，，所以，，又与平行，所以，解得；【小问2详解】解：因为，，所以，因为与夹角为，所以，即，解得．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.（1）求角C的大小；（2）若，且的面积为，求AC边上的中线BD的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案;（2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案【小问1详解】因为，由正弦定理得，因为，所以， 所以，即，又，所以，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，又，所以，，又，所以，（舍）在中，，由余弦定理得，所以.21.如图所示，△中，，，.线段相交于点.（1）用向量与表示及；（2）若，试求实数的值.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.（2）由题图知，，结合已知条件求得 ，根据平面向量的基本定理可得的值.【小问1详解】由题设，，.【小问2详解】设，所以，且，所以，则，可得，所以，故，.22.随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；（1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）若地到直线的距离为，求的最大值．【答案】（1）（2）的最大值为10．【解析】【分析】（1）本题考查解三角形的实际应用，由图根据余弦定理，在中，，又因为，所以前面的表达式转化为 ，同理，在中，，这样结合前面得到的等式，可以用分别表示出和；（2）由于，所以的面积与的面积相等，因此的面积等于，又，于是可以将转化为关于的函数，即，从而转化为求函数最大值.【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，，又，所以①在中，，由余弦定理得，②①+②得，①-②得，，所以，即，又，即，所以．（2），故，又，设，所以，， 又，，在上都是增函数；所以，在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10．【点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的方法总结：（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量；（3）求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过均值不等式、三角函数的最值、函数的最值等方法求得面积的最值或范围.