陕西省咸阳市2023届高三理科数学下学期一模试题（Word版附解析）

咸阳市2023年高考模拟检测（一）数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号绘里，如需上县市区下改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.【详解】由得：，而，所以.故选：C2.已知复数的共轭复数为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数的概念，复数除法运算求解即可.【详解】解：由题知，所以故选：A 3.已知向量，都是单位向量，且，则（）A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.【详解】向量，都是单位向量，且，则，解得，所以.故选：D4.古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（）A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.故选：C5.设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y 轴的距离为2，则p＝（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.【详解】抛物线C：的焦点，准线方程，显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.故选：B6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s＝（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的程序框图，运行程序，依次计算判断作答.【详解】执行程序，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环： ，退出循环，输出，所以.故选：A7.已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于,若，，则或，故错误，对于,若，，时，可能与相交，但不垂直，即不一定，故错误，对于,由平面与平面垂直的性质定理可知，若，，，时，则，若时，直线与平面不垂直，故错误，对于C.若，则两平面的法向量互相垂直，因为，，所以，正确故选：C.8.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.【详解】在中，由正弦定理得：，因此，则，而，即有是正三角形，所以的面积.故选：B9.如图，中，，，为的中点，将沿折叠成三棱锥，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可证明平面，进而得时，三角形的面积最大，此时三棱锥的体积最大，再求在该条件下的几何体的外接球半径，进而得表面积.【详解】解：在中，，，为的中点，所以，，所以，三棱锥中，，因为平面，所以，平面，所以，当底面三角形的面积最大时，该三棱锥的体积最大，因为，当且仅当时等号成立， 所以，当时，三角形的面积最大，此时三棱锥的体积最大，所以，两两垂直，所以，三棱锥的外接球即为以为邻边的正方体的外接球，所以，棱锥的外接球直径为以为邻边的正方体的体对角线，所以，三棱锥的外接球的半径满足，所以，三棱锥的外接球的表面积为.故选：C10.某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可.【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件，所以，，，所以，，又因为，所以，，故选：B11.直线过双曲线）的右焦点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为原点，且，，则双曲线的离心率为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得，进而结合双曲线的性质和已知条件得，，，再根据，，得，进而根据离心率公式求解即可.【详解】解：如图，设直线为双曲线的两条渐近线，则直线的方程分别为，，因为，所以，即，因为，直线的方程分别为，即，所以到直线的距离为，所以，在直角三角形中，因为，所以，所以，，所以，在直角三角形中，，因为直线的方程分别为，所以，由双曲线渐近线的对称性，，所以，即，整理得， 所以，双曲线的离心率为故选：D12.已知定义在R上的偶函数满足：当时，，且．若关于x的方程有8个实根，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，结合图象列出不等式，求解作答.【详解】当时，，求导得：，显然当时，，即函数在上单调递增，而是R上的偶函数，则在上单调递减，又，即，因此函数是周期函数，周期为2，且，函数，是R上的偶函数，在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图， 关于x的方程的根，即是函数与的图象交点的横坐标，依题意，函数与的图象有8交点，则在时，有4个交点，观察图象知，，解得，所以a的取值范围为.故选：B【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过等价变形，转化为两个函数的图象交点个数，数形结合推理作答.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．【答案】8【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法，特殊位置（元素）法求解即可.【详解】解：先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有种方案，此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有种方案，最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有种方案，所以，根据乘法原理，共有种方案.故答案为： 14.已知半径为1的圆过点，则该圆圆心到原点距离的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设该圆圆心为，进而得该圆圆心的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，再结合圆上的点到定点的距离求最值即可.【详解】解：设该圆圆心为，因为半径为1的圆过点，所以，，所以，该圆圆心的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，因为到原点的距离为，所以，该圆圆心到原点的距离的最大值为故答案为：15.设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】根据给定的条件，求出函数的周期，进而求出，再利用最值求出的表达式作答.【详解】因为函数相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期，，又，因此，即，所以当时，.故答案为：16.已知函数，则函数零点的个数是 __________．【答案】【解析】【分析】由题知或，进而作出函数的图象，数形结合求解即可.【详解】解：令，即，解得或，作出函数的图象如图，由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，所以，的实数解有个，所以，函数零点的个数是个.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列的前n项之积为．（1）求数列的通项公式；（2）设公差不为0的等差数列中，，，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．【答案】（1）； （2）条件选择见解析，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用前n项积的意义求解作答.（2）选择条件①②，结合等差数列求出的通项，再利用错位相减法求解作答.【小问1详解】因为数列的前n项之积为，则当时，，而当时，满足上式，所以数列的通项公式是．【小问2详解】选①，，设等差数列的公差为d，而，则，又，解得，因此，，则于是得两式相减得，所以．选②，，而数列是等差数列，则，即，又，则公差，因此，，则于是得 两式相减得，所以．18.某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：平均每天锻炼时间（分钟）人数4072881008020将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”．（1）完成下面2×2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关？锻炼达标生锻炼不达标合计男女合计400附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这10人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）填表见解析；有99.9%以上的把认为“锻炼达标生”与有关（2）分布列见解析；期望为【解析】 【分析】（1）计算出的值，结合临界值表可得出结论；（2）列出随即变量的分布列，利用期望的公式计算可得.【小问1详解】补充完整的2×2列联表如下：锻炼达标生锻炼不达标合计男60120180女40180220合计100300400∵，∴有99.9%以上的把认为“锻炼达标生”与有关．【小问2详解】“锻炼达标生”中男女人数之比为60：40＝3：2，抽取的男生有6，女生有4人，易知X＝0，1，2，，，，X的分布列为：X012P．19.如图，直三棱柱中，，D为上一点． （1）证明：当D为的中点时，平面平面；（2）若，异面直线AB和所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）以为原点，直线CA，CB，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解即可；或者利用异面直线的定义作出异面直线AB和所成角，利用余弦定理求出的长度，再利用二面角的定义作出二面角平面角，即可求解.【小问1详解】证明：如图，分别取，的中点E，F，连接DE，EF，，易知,且∥,∴是平行四边形，∴． 由，为的中点，可知，而平面平面，且平面平面，平面，∴平面．又∵，∴DE⊥平面，而平面，∴平面平面．【小问2详解】方法1：不妨设，，注意到，知或其补角为异面直线AB和所成角，在△中，，，易知，解得，即D为的中点，如图，延长交AC的延长线于，连接，过C作于，连接，∵平面,,,∴平面，∴,又∵,∴平面,∴∴为二面角的平面角， 在△中，，，得，∴，即二面角的平面角的余弦值为．方法2：取C为原点，直线CA，CB，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，，则，，，，∴，．∴，解得．由已知可得平面的一个法向量为，易知，，设平面的法向量为，由得，可取，则． ∴二面角的平面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程，解出、的值，可得出椭圆的方程；（2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，利用直线与圆相切可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及基本不等式可求得的最大值.【小问1详解】解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，由题意可得，解得，．所以，椭圆的方程为．【小问2详解】解：若直线与轴重合，此时直线与圆相交，不合乎题意， 设直线的方程为，由题意可得，即.联立消去得，即，．设、，则，．所以，．令，则，则，当且仅当时等号成立，此时，．故的最大值为．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对于任意，恒成立，求证：．【答案】（1）递增区间为；递减区间为（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可；（2）由题知对于任意的恒成立，进而分时和时两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：，令，则，即，解得的递增区间为；令，则，即，解得的递减区间为．所以，的递增区间为，递减区间为【小问2详解】证明：因为，对于任意的，恒成立，所以，对于任意的恒成立，当时，；当时，，令，，所以，． 令，，所以，上恒成立，所以，上单调递减，所以，，即在上恒成立所以，在上单调递减，所以，，所以，．综上，．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于分离参数，进而构造函数，转化为求函数的最小值问题.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求的值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的互化求解即可；（2）根据直线的参数方程的几何意义求解即可.【小问1详解】解：曲线：，所以，曲线的直角坐标方程为．【小问2详解】解：法1：将直线的参数方程为（t为参数）代入曲线的直角坐标方程得：，整理得，设方程的实数根为，所以，，所以一正一负，所以，由直线的参数方程几何意义得：．法2：由（1）知曲线表示圆，圆心为，半径为直线（t为参数）化为直角坐标方程为，所以，曲线的圆心到直线的距离为，所以，直线与曲线相交， 因为，即点在圆内，所以，．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数．（1）解不等式；（2）设的最小值为m，且，求证．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）用分段函数表示函数，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的结论，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.【小问1详解】依题意，函数，因此不等式化为：或或，解得或或，所以不等式的解集为．【小问2详解】由（1）知，，即有，因此 ，当且仅当，即，，时等号成立，所以．