山西省阳泉市2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

秘密★启用前阳泉市2022～2023学年度第一学期期末教学质量监测试题高三数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题的答题卡交回．5．试题满分150分，考试时间120分钟．参考公式：柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积、体积公式：，，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合，则集合A的子集个数为（）．A．3B．4C．7D．82．已知复数，则复数z的虚部是（）．A．B．C．D．3．已知，且，则（）．A．B．C．2D．34．已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则 （）．A．56B．C．54D．5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥底面周长L与高h计算其体积V的近似公式，一个圆锥的侧面展开图扇形的中心角为，半径为5．按上述公式计算该几何体的体积为（）．（计算时圆周率近似取3）A．48B．49C．52D．546．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象恰好与函数的图象重合，则（）．A．B．C．直线是曲线的对称轴D．点是曲线的对称中心7．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（）．A．B．1C．3D．48．已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（）．A．B．C．2D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，完全选对得满分，漏选得2分，错选得0分．9．已知，，则（）．A．B． C．D．10．某校组织“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占一、二、三等奖的40％，60％，60％，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件A，“取出男生作品”为事件B，若，则下列说法正确的是（）．A．B．一等奖和三等奖的作品数之比为C．D．11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线C上一点，则下列说法正确的是（）．A．若，则的面积为B．C．双纽线C关于原点O对称D．双纽线上C满足的点P有三个12．已知函数有三个不同的极值点，，，且，则下列结论正确的是（）．A．B．C．为函数的极大值点D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程：__________．14．已知向量和向量，则在上的投影向量的坐标为：__________．15．已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．16．已知函数，则函数的所有零点之积等于__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知数列满足，，．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）对于大于2的正整数x，y（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求所有符合条件的数x和y．18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，其外接圆半径，已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（本小题满分12分）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；（Ⅱ）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（ⅰ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，D是的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若三棱柱的体积是8，求平面与平面的夹角的大小．21．（本小题满分12分）已知过点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设F为抛物线的焦点，直线与直线交于点M，直线交抛物线与C，D两点（A，C在x轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．22．（本小题满分12分）已知函数，，．（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若方程在区间上有且只有1个实数根，求a的取值范围．机密★启用前阳泉市2022～2023学年度第一学期期末教学质量监测试题高三数学参考答案和评分标准一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678选项BACDADDA二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）题号9101112选项ADABDBCACD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（答案不唯一，只要即可）14．15．3116．四、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（Ⅰ）解：∵，，∴，∴是以2为公比的等比数列．（5分）（Ⅱ）∵，∴，．（6分） 当时，则，∴，则，；（8分）当时，则，∴．∵，都是偶数，∴不存在x，y．（9分）当时，则，同理可知，x，y不存在．综上所述，，．（10分）18．（Ⅰ）解：∵，，∴，∴．（4分）∵，∴，即，∴．（6分）（Ⅱ）∵，∴，∵，∴．（8分）由（Ⅰ），得．∵，∴，（10分）∴，（11分）∴．（12分）19．解：（Ⅰ）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．（4分）（Ⅱ）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布．（6分）（ⅰ）因为，所以．故参赛学生中成绩超过79分的学生数为．（8分）（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为．所以随机变量服从二项分布，所以，，，．所以随机变量的分布列为：0123P均值．（12分） 20．证明：（Ⅰ）设O是BC是中点，连接AO，，，．∵，∴在同一个平面内．∵，∴．又∵，∴≌，∴，∴，∴，∴平面．（5分）（Ⅱ）设三棱柱的高为h，则∵，∴．（6分）∵，．∴，∴就是．（7分）如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，．设平面的法向量，则，解得．（8分）设平面的法向量，则，解得．（10分） ∴，（11分）∴平面与平面的夹角为．（12分）21．解：（Ⅰ）设，，∵A、H、B三点共线，∴．∴，整理可得．∴，∴．（4分）（Ⅱ）设，，，∵，，∴．（6分）又∵，，∴，整理得．∵A、C在x轴同侧，∴，同理可得，．（8分）∴直线的方程为，同理的方程为，（10分）两式联立，代入，可得．（11分）由题意可知，交点不能在x轴上，所以交点的轨迹方程为．（12分） 22．解：（Ⅰ）当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．（3分）（Ⅱ）由知，设函数，，单调递增，所以时，．（4分）①若，即，则，在上单调递增；∵，，∴存在，使得，时，，单调递减；时，，单调递增；由知，在上，不符合题意．（6分）②若，即，则，在上单调递减，∵，，∴存在，使得，时，，单调递增；时，，单调递减；由知，在上，不符合题意．（8分）③若，令得，在上，单调递减； 在上，，单调递增．故．令，，则．当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以，即，（10分）要使在上有唯一零点，只需，解得，综上可得，a的取值范围为．（12分）（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）