浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三数学上学期1月期末试题（Word版附解析）

丽水发展协作体2022-2023学年上学期期末考试高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】由得：，即，又，.故选：C.2.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的概念以及复数的乘法运算，即可得答案.【详解】因为，所以，则，故选：B 3.已知向量，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的模的运算求解.【详解】解：因为向量，所以，解得，所以，故选：C4.已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解.【详解】解：设圆锥的母线为l，由题意得，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将本书排序，然后将本语文书插入中间个空，所以，同一科目的书都不相邻的概率是.故选：A.6.将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像与原图像重合，则的最小值为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析】由题有，据此可得答案.【详解】由题有，则，得，结合，得.故选：B7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先比较的值，然后构造新函数利用函数导数与单调性比较即可.【详解】因为，所以，所以，设，则，令， 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，因为，所以，即，由函数在上单调递增，所以，即，所以，故选：D.8.将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.【详解】不妨设菱形的边长为，，，外接球半径为，内切球半径为，取中点为，连接， 因为，所以，当平面平面时，平面平面，平面，所以平面，此时四面体的高最大为，因为，所以所以，，令解得，令解得，所以在单调递增，单调递减，所以当时最大，最大体积为，此时，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，则有解得，所以，所以外接球的表面积为，又因为，所以，， 所以，所以，所以，所以内切球的表面积为，所以内切球和外接球表面积之比为，故选:C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知正方体是中点，则（）A.面B.C.D.平面【答案】BC【解析】【分析】与平面相交于点，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项D.【详解】与平面相交于点，故选项A错误； ,面面面,故选项B正确； 连接,为等边三角形，为中点，,,则故选项C正确；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.故选：BC.10.已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数对称中心为B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据奇函数的定义与性质逐项分析判断.【详解】令对A：可以认为是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误；对B：若为定义在上的奇函数，则，B正确；对C、D：若为奇函数，则，即，得，令，得，但无法确定与是否相等，C错误；令，得，D正确；故选：BD11.抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点A在第一象限），，则下列说法正确的是（） A.最小值为4B.有可能是钝角C.当直线的倾斜角为时，与面积之比为3D.当直线与抛物线只有一个公共点时，【答案】ACD【解析】【分析】设直线方程为，联立抛物线方程得根与系数的关系，利用抛物线弦长公式可判断A;利用向量的夹角公式计算，可判断B;求得，根据与面积之比为，可判断C;利用直线和抛物线相切，求出切线斜率，求出切点，继而求得l的方程，可得B点坐标，即可求得，判断D.【详解】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点,对于A，由题意知l的斜率必存在，设直线方程为，设，联立，则，，则，则，故，时取等号，即最小值为4，A正确；对于B，，故，则， 即不可能是钝角，B错误；对于C,当直线的倾斜角为时,直线方程为,由A的分析知即，解得，又与面积之比为，C正确；对于D，因为点A在第一象限，当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线一定相切，直线的斜率存在，设直线的方程为，所以由，得到，故，又因为点A在第一象限，所以，则，则即，解得，故，此时直线的斜率为，即直线的方程为，此时,所以，故D正确．故选：．【点睛】方法点睛：解答此类关于直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法是设直线方程，要注意直线的斜率是否存在情况，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系结合题设等条件进行化简，关键是要注意计算量较大，很容易出错.12.已知为自然对数的底数，设，则下列结论正确的是（）A.当时，既有极小值又有极大值 B.当时，只有极小值无极大值C.当时，既有极小值又有极大值D.当时，只有极小值无极大值【答案】BC【解析】【分析】分别求时，导数，即可得极值情况.【详解】对于AB选项，当时，，则，令，则，得在上单调递增，又，，则，故，结合在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，故此时在时有极小值无极大值；对于CD，当时，，则，注意到，令，则，得在上单调递增，又，则.结合和函数均在上单调递增，则当在上单调递增， 当在上单调递减，当在上单调递增.故在时取得最大值，在时取得最小值，故C正确.故选：BC非选择题部分三、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为__________.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案.【详解】由题意的展开式的通项为，令，故展开式中的常数项为，故答案为：6014.已知圆与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程相减求得公共弦的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法即可求得.【详解】将圆与圆的方程相减， 即得的方程为，则的圆心为，半径为，则到直线的距离为，故，故答案为：15.若函数的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，.若函数上存在两条切线垂直，则存在、，使得.故答案为016.已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设，求出坐标，根据可得， 把代入椭圆方程得，根据的范围可得答案.【详解】设，，则，因为，所以，可得，由可得，两式相减可得，因为上存在不同的两点，且，所以，解得，又，所以.故答案为：.四、解答题：本题6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且.（1）求；（2）求数列前项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法可求得.【小问1详解】，① 当时，，②①②得又，故.【小问2详解】因为，所以，所以，③，④③③得：即即.18.已知锐角内角的对边分别为.若.（1）求；（2）若，求范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将化为有关边长的条件，再利用余弦定理可得答案；（2）利用正弦定理得到，则. 后利用结合A的范围可得答案.【小问1详解】由正弦定理，又，得；【小问2详解】因为，所以，，因为三角形为锐角三角形，所以，解得，令，所以，所以.19已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折得到四面体，且.（1）求点到平面的距离； （2）求二面角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题干数据，先可以证明面，然后利用等体积法求距离即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.【小问1详解】由题意可得，又，面，故面.设点到平面的距离为，利用等体积法：，所以解得；【小问2详解】以点为原点，为轴，为轴，过平行与的射线为轴建立空间直角坐标系，，，，.设平面法向量为，平面法向量为， ，取则，故为平面的一个法向量；，取则，故为平面的一个法向量；，结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角的余弦值为，该角大小为.20.为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.（1）判断是否有的把握认为性别与玩手机游戏有关联；（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为，求的分布列、数学期望和方差.附：，其中.【答案】（1）有的把握认为性别与玩手机游戏有关联（2）分布列见解析，数学期望为，方差为【解析】【分析】（1）由题意得到列联表，再根据里面的数据求得，与临界值表对照下结论；（2）由题意得到经常玩手机游戏的频率为，再根据随机变量服从 求解.【小问1详解】解：列联表如下：不玩手机游戏玩手机游戏合计男6040100女9010100合计15050200有的把握认为性别与玩手机游戏有关联.【小问2详解】由题意可得，经常玩手机游戏的频率为，则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为，随机变量的所有可能取值为由题意可得，，故的分布列为：0123故. 21.已知为双曲线左右顶点，焦点到渐近线的距离为，直线上一点与点连线与双曲线右支交于另一点，点与点连线与双曲线右支交于另一点D.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线是否经过定点？若是，求出该定点.【答案】（1）；（2）经过定点，定点坐标为.【解析】【分析】（1）由题意即可得到答案（2）设出，直线，联立直线与双曲线方程得到关于的韦达定理，由三点共线得，三点共线，得，化简得到，即可得到答案.【小问1详解】依题可知，双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线距离为，即双曲线方程为.【小问2详解】设，直线，由得，所以 又三点共线，则①，三点共线，则②，联立①②得，化简得，即（*）将，，代入（*）式化简得.所以，即直线是否经过定点.22.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程； （2）若为方程的两个不相等的实根，证明：（i）；（ii）.【答案】（1）（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合的值可得切线方程；（2）（i）所证不等式可化为，令，利用导数可求得单调性，进而得到，从而证得结论；（ii）根据（i）中结论，知与的交点为，得到，从而可知只需证得即可，又与的交点为，则需证得，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，又，所求切线方程为：，即.小问2详解】 （i）令，则定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，即，，即；（ii）令，则，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，即；不妨设，与的交点为，；与的交点为， 由图象可知：，；.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不等式的证明问题；本题证明两根之差范围的解题关键是能够利用之前证得的不等关系对所证不等式进行放缩，将问题进一步转化为关于函数最值的求解问题.