江苏省连云港市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

高二学业质量调研考试数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据斜率公式计算可得.【详解】解：因为过两点，的直线的斜率为，所以，解得.故选：C2.过点且与直线垂直的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可.【详解】解：因为直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为，所以，所求直线方程为.故选：A3.设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，所以点坐标满足圆的方程，所以点圆上，故选:A4.圆与圆的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，根据两圆心之间的距离与两半径的关系判断圆与圆的位置关系．【详解】由题意可知圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选：C． 5.设k为实数，若双曲线的一个焦点坐标为，则k的值为（）．A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将双曲线方程化为标准式，由于双曲线的一个焦点为，可得，解出即可【详解】根据焦点坐标可判断双曲线焦点在纵轴上，则双曲线化为，双曲线的一个焦点为，，解得．故选：B．6.若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（）A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为设，根据抛物线定义有有，∴，∴点到原点的距离为.故选：D.7.已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.【详解】由题意可得，所以，且则，所以所以等比数列的公比为故选:B8.设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，由导数法求出，原命题转化为与有两个交点，可得答案.【详解】令，则时，；时，.，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.∵关于的方程有两个解，即与有两个交点，∴，故的取值范围为.故选：C. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设是等比数列，则（）A.是等比数列B.是等比数列C.等比数列D.是等比数列【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D.【详解】因为等比数列，所以设其公比为，即．因为，所以是等比数列，所以A选项正确；因为，所以是等比数列，所以C选项正确；当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误.故选：AC10.设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象 的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.【详解】对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；故选：BC11.设为实数，若方程表示圆，则（）A.B.该圆必过定点C.若直线被该圆截得的弦长为2，则或D.当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；对B，点代入方程即可判断；对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上点到直线距离的最小值.【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；对B，将代入方程，符合，B对；对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线 被该圆截得的弦长为或，C对；对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对.故选：BCD.12.已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（）A.若点的横坐标为2，则B.的最大值为9C.若为直角，则的面积为9D.若为钝角，则点的横坐标的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；对B，最大值为对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积；对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；对B，的最大值为，B对；对C，为直角，设，则，则有 ，则的面积为，C对；对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则______.【答案】0【解析】【分析】求出导函数，代入求值即可【详解】因为，所以，所以.故答案为：014.经过两点的椭圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】由待定系数法求方程即可. 【详解】设椭圆为，代入两点得，解得.故椭圆的标准方程为.故答案为：.15.求和：______.【答案】84【解析】【分析】由等比数列及等差数列分组求和即可.【详解】故答案为：8416.已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率. 【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径.∵，∴，则，∴，∴，化简得.∴椭圆的离心率为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求和：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式；（2）使用错位相减法求和. 【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.【小问2详解】设，由（1）可知则两式相减，得所以18.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求该切线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程；（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.【小问1详解】由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即 上.由，解得，即，从而，所以圆的标准方程为.【小问2详解】i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则，解得，所以切线方程为.综上所述，该切线方程为或.19.已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为.（1）试把饮料罐的表面积表示为的函数；（2）求为多少时饮料罐的用料最省？【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由体积公式、面积公式消h即可；（2）由导数法求最小值.【小问1详解】由题意知，，即，，即.【小问2详解】，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，取得最小值，用料最省.20.设为实数，已知双曲线，直线.（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求的值；（2）若直线与双曲线相交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求的值.【答案】（1）的值为（2）【解析】【分析】（1）根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线有且仅有一个公共点列出方程即可得到结果；（2）根据题意，由直线与双曲线相交于两点列出方程，再由即可解得的值.【小问1详解】，消去得当时，，成立；当时，，得综上：的值为【小问2详解】设由（1）知有两个不同的实根，则，由韦达定理可得解得由题意知，即 ，其中即,将韦达定理代入得，解得，成立.21.若数列满足：，对任意的正整数，都有.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由可得，从而即可证明；（2）根据题意，由（1）可得，从而求得数列的通项公式.【小问1详解】由得，又由，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列【小问2详解】由（1）可知，即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，即22.设为实数，已知函数.（1）当时，求的极值；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】(1)对求导，令得，，讨论单调性确定极值点并求极值；(2)讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值，当有两个值都有可能为最大值时，讨论它们的大小确定最大值.【小问1详解】当时，，令得，，当变化时，的变化如下表：100递增极大值9递减极小值递增由上表知，当时，；当时，则. 【小问2详解】，当时，当时，在上单调递增，所以，当在上单调递减，所以，当时，在上有两个不相等的实根，令，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，而，当时，，，故，此时，，当时，，，所以，此时，，当时，，，所以，此时，，综上：当时，，当时，.当时，. 【点睛】用导数研究函数在区间上最值步骤:(1)对原函数求导，然后令导数等于0，得出此区间上的极值点，(2)然后通过判断导数的正负来判断单调性，求出极值，(3)然后再计算端点值，比较极值与端点值的大小，不能确定大小时要分类讨论，它们中的最大就是函数的最大值，最小就是函数的最小值.