重庆市北碚区2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

【机密】2023年1月13日前2022—2023学年（上）期末学生学业质量调研抽测高二数学试题卷数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定双曲线的即可得渐近线.【详解】由已知，则双曲线的渐近线方程为，即故选：B.2.空间向量，，且向量与共线，则的值为（）A.－8B.8C.－4D.4【答案】A【解析】 【分析】存在实数使，代入坐标计算可得答案.【详解】向量与共线,则存在实数使，即，可得故选：A.3.若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可.【详解】直线恒过定点，又关于点对称点为所以直线恒过的定点为故选：D.4.已知圆，直线（其中为自然对数的底数），则直线与圆的位置关系为（）A.相切B.相离C.相交D.无法确定【答案】C【解析】【分析】通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来得答案.【详解】圆C：的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为， 又，所以直线与圆的位置关系为相交故选：C.5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是（）A.[－，]B.[－，]C.[－，]D.[－，]【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解.【详解】因为椭圆的焦点，，所以，，因为，所以，解得，故选：D6.已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A.－20B.－15C.－10D.－5【答案】B【解析】【分析】利用，代入可得的值，再变形得到可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，故选：B.7.设是过抛物线的焦点F的一条弦（与y轴不垂直），其垂直平分线交y轴于点G，则＝（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，求出点坐标以及直线的方程，可得，利用定义求出弦长，可得比值．【详解】因为抛物线的焦点为，设，，，的中点为，联立方程组，消去得，所以，，，即，所以的方程为.令，得，.因此.又， 所以.故选：.8.已知数列满足，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用累加法，得到，然后得到，进而得到，最后根据二次函数和指数函数的性质，得到时，的最小值.【详解】，，根据累加法，得到，得到，检验，当时，满足，，，明显地，根据指数函数和二次函数的性质，当且仅当时，有最小值，此时，最小值为故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.关于直线，则下列结论正确的是（）A.倾斜角为B.斜率为C.在y轴上的截距为D.与直线垂直【答案】BC【解析】【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.【详解】直线变形得，直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确；令，，即直线在y轴上的截距为，C正确又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误故选：BC.10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，若，则m所有可能的取值为（）A.4B.5C.17D.32【答案】ABD【解析】【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可.【详解】若，则,则，则或 当时，或5当时，，综上可能的取值为.故选：ABD11.如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（）A.B.三棱锥的体积为C.三棱锥的外接球的表面积为8πD.平面平面【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项D；求得三棱锥的体积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项D.【详解】以A原点分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：则,,,,,,,选项A：由.可得，则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误；选项B：三棱锥的体积 .判断正确；选项C：三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的外接球直径为则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；选项D：设为平面的一个法向量，则，令，则，，则设为平面的一个法向量，则，令，则，，则由，可得向量与向量不互相平行，则平面与平面不互相平行.判断错误.故选：ACD12.已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的准线l的方程为 B.若F为的重心，则成等差数列C.若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物线的对称轴D.若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足为等边三角形，则直线AC的斜率为±【答案】BCD【解析】【分析】由条件求，由此可得抛物线方程，求其准线方程判断A，由重心性质确定关系，结合抛物线定义判断B，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法确定关系，求点的纵坐标，由此判断C，结合设而不求法与条件列方程求斜率，判断D.【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，故抛物线的方程为，其准线方程为，焦点坐标为，A错误，因为F为的重心，所以，又点的坐标为，，，，所以，所以，故，，所以，B正确；过点，斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，故设直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，又，，所以，，即，又直线的斜率为，所以直线的方程为，与直线联立可得 ，故点的坐标为，即，故直线与轴平行，C对，设点的坐标为，线段的中点为，因为为等边三角形，所以，，因为，所以，因为在直线上，所以，即，所以直线的斜率为，当时，直线的斜率为，所以，化简可得，点到直线的距离为，，所以，所以，故，所以，此时直线AC的斜率为±，当时，直线的方程为，点在直线上，与已知矛盾，D正确，故选：BCD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的常用方法为设而不求法.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若椭圆经过点，且焦点坐标为，则椭圆的离心率为___．【答案】【解析】【分析】根据条件可得，则离心率可求.【详解】设椭圆方程为，则由已知得， 所以椭圆的离心率为故答案为：.14.已知等差数列的首项为－1，前n项和为，若，则公差为___．【答案】【解析】【分析】直接根据等差数列的求和公式列方程求解.【详解】由得，解得故答案为：15.已知空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为_____．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可.【详解】由已知，，，又则，以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 故答案为：.16.如图，在棱长为2的正方体中，G是棱AB上的一点，则点到平面的距离d＝___．若E，F分别是的中点，当∥平面DEF时，则___．【答案】①.;②..【解析】【分析】证明平面，可知为点到平面的距离得解，利用向量法求出点坐标，即可得解.【详解】连接，设，以D为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即为点到平面的距离，， 又，，，设平面DEF的一个法向量为，则，令，则，所以，设，则，当∥平面DEF时，则，，解得，即，所以，故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若，求n的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；（2）整理得，然后利用裂项相消法可得，然后解方程可得n的值．【小问1详解】 当时，，由时，符合上式，数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，，则，解得.18.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段的中点，O为坐标原点．（1）若点M在y轴上，求点P的坐标；（2）若OM与垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用M是线段的中点可得点横坐标，进而可得点P的坐标；（2）设，由点P在双曲线上以及OM与垂直可列方程组求出点P的坐标，进而 可得直线的方程．【小问1详解】若点M在y轴上，且点M是线段的中点，则点横坐标为，又当时，，得故点P的坐标为；【小问2详解】设，则①又OM与垂直，则②由①②得，即，所以直线的方程为，整理得直线的方程为，即为.19.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列.（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由得，即，又，，数列为以2为首相，2为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得，， 20.如图，在直三棱柱中，，．（1）求证：平面⊥平面；（2）若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角.【小问1详解】在直三棱柱中，，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.【小问2详解】设，连接，如图， 则中点为M，且，∵平面平面且交线为，平面，∴平面，所以直线与平面所成的角为，又，则以B为原点，分别为x，y，z轴正方向建立坐标系，则，设平面的法向量为，令，则，故，设平面的法向量为，，令，则，，故，设平面与平面的夹角为，∴，又，.21.已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点． （1）若直线也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）先求得圆C的圆心坐标进而求得圆C的方程，再利用几何法即可求得圆C的切线方程；（2）先求得点M的轨迹方程，再利用两圆有公共点即可求得圆心C的横坐标的取值范围．【小问1详解】不过原点的直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，则直线l可设为，又点（2，1）在直线l上，则，则，则直线l的方程为，由，可得，则圆C的圆心坐标为，又圆C的半径为1，则圆C的方程为，过点A（0，3）的直线斜率不存在时，其方程为，与圆C相切，符合题意；过点A（0，3）的直线斜率存在时，其方程可设为，则，解之得，则切线方程为即，综上，所求切线方程为或．【小问2详解】圆心C在直线l上，则可设，则圆C的方程为 设圆C上点M满足，则，整理得则点M的轨迹为以为圆心以2为半径的圆；则点M为圆D与圆C的公共点，则，即，则，解之得或.则圆心C横坐标的取值范围为或.22.如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB，EF之间建造一个不影响道路的半椭圆形状主题公园．已知点A在线段EB上，O为AB的中点，千米，椭圆的短轴长千米，OD为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点在半椭圆上，交于点，且．（1）求取值范围；（2）若游乐园面积的最大值为1平方千米，求的值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程，根据已知条件求出直线的方程，根据题意直线与椭圆最多只有一个交点，联立直线与椭圆方程，由及椭圆定义，即可求出的取值范围.（2）设，则，因为，设直线的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出，在利用圆心到直线的距离求出的高，表示出的面积，根据已知条件，利用基本不等式性质求最值，根据最值条件即可求出的值.【小问1详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设椭圆的标准方程为：，则，由椭圆的短轴长，知，所以椭圆的标准方程为：，因为，所以直线的倾斜角为，斜率为，又，所以直线过点， 所以直线的方程为：，联立，消元整理得：，由题意知直线与半椭圆最多一个交点，所以，即，因，所以，即的取值范围为：.【小问2详解】设，则，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，联立，消元整理得：，设，则，所以， 由到直线的距离为：，所以，由题意知：，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，即.